Considere o espaço vetorial de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está trabalhando com o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A missão aqui é descobrir quais dos conjuntos apresentados formam uma base para esse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) é uma base. Basicamente, uma base precisa ter vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de duas coisas importantes:
  1. Linearmente Independentes: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, não tem redundância.
  2. Geração do Espaço: O conjunto de vetores gera o espaço se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Para , uma base típica é , pois qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser expresso como uma combinação linear desses três.

Passo 3

Vamos começar analisando a opção (a):
Para verificar se esse conjunto é uma base, precisamos conferir se os três polinômios são linearmente independentes. Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para ver se só a solução trivial (todos ) existe.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Daqui, temos:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Substituindo :
Isso significa que temos infinitas soluções, ou seja, existe uma combinação não trivial que zera a combinação linear. Portanto, os polinômios são linearmente dependentes.

Passo 5

Como o conjunto da opção (a) é linearmente dependente, ele não forma uma base para .

Passo 6

Vamos verificar a opção (b):
Novamente, vamos montar a combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, e . Apenas a solução trivial existe, o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Como o conjunto da opção (b) é linearmente independente e contém três vetores (mesmo número da dimensão de ), ele forma uma base para o espaço.

Passo 9

Vamos analisar a opção ©:
Montando a combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema:

Passo 10

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então:
Agora, substituindo na terceira equação:
Portanto, e . Apenas a solução trivial existe, indicando que os vetores são linearmente independentes.

Passo 11

Como o conjunto da opção © é linearmente independente e possui três vetores, ele também forma uma base para .

Passo 12

Finalmente, vamos verificar a opção (d):
Construindo a combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema:

Passo 13

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Daqui:
Agora, substituindo na terceira equação:
Então, e . Apenas a solução trivial existe, indicando que os vetores são linearmente independentes.

Passo 14

Como o conjunto da opção (d) é linearmente independente e possui três vetores, ele também forma uma base para .

Resposta

As opções (b), © e (d) são bases para . A opção (a) não é uma base.

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