Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está trabalhando com o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A missão aqui é descobrir quais dos conjuntos apresentados formam uma base para esse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) é uma base. Basicamente, uma base precisa ter vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de duas coisas importantes:
Linearmente Independentes: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, não tem redundância.
Geração do Espaço: O conjunto de vetores gera o espaço se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Para , uma base típica é , pois qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser expresso como uma combinação linear desses três.
Passo 3
Vamos começar analisando a opção (a):
Para verificar se esse conjunto é uma base, precisamos conferir se os três polinômios são linearmente independentes. Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para ver se só a solução trivial (todos - c1 + 2c2 + c3 = 0 Rightarrow c1 = 2c2 + c3 ) existe.
Isso significa que temos infinitas soluções, ou seja, existe uma combinação não trivial que zera a combinação linear. Portanto, os polinômios são linearmente dependentes.
Passo 5
Como o conjunto da opção (a) é linearmente dependente, ele não forma uma base para .
Passo 6
Vamos verificar a opção (b):
1+2x+x^2, 3+x^2, x+x^2
Novamente, vamos montar a combinação linear igual a zero:
c1(1 + 2x + x^2) + c2(3 + x^2) + c3(x + x^2) = 0
Isso nos dá o sistema:
c1 + 3c2 = 0 (coeficiente de x^0) 2c1 + c3 = 0 (coeficiente de x^1) c1 + c2 + c3 = 0 (coeficiente de x^2)