Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está trabalhando com o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A missão aqui é descobrir quais dos conjuntos apresentados formam uma base para esse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) é uma base. Basicamente, uma base precisa ter vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de duas coisas importantes:
Linearmente Independentes: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, não tem redundância.
Geração do Espaço: O conjunto de vetores gera o espaço se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Para , uma base típica é , pois qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser expresso como uma combinação linear desses três.
Passo 3
Vamos começar analisando a opção (a):
Para verificar se esse conjunto é uma base, precisamos conferir se os três polinômios são linearmente independentes. Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para ver se só a solução trivial (todos ) existe.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Daqui, temos:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Substituindo :
Isso significa que temos infinitas soluções, ou seja, existe uma combinação não trivial que zera a combinação linear. Portanto, os polinômios são linearmente dependentes.
Passo 5
Como o conjunto da opção (a) é linearmente dependente, ele não forma uma base para .
Passo 6
Vamos verificar a opção (b):
Novamente, vamos montar a combinação linear igual a zero:
Isso nos dá o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo e na terceira equação:
Então, e . Apenas a solução trivial existe, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 8
Como o conjunto da opção (b) é linearmente independente e contém três vetores (mesmo número da dimensão de ), ele forma uma base para o espaço.