Considere o espaço vetorial P2(R) de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. Determine quais dos seguintes conjuntos são bases para P2(R):
(a) -1-x+2 x^2, 2+x-2 x^2, 1-2 x+4 x^2,
(b) 1+2 x+x^2, 3+x^2, x+x^2,
© 1-2 x-2 x^2,-2+3 x-x^2, 1-x+6 x^2,
(d) -1+2 x+4 x^2, 3-4 x-10 x^2,-2-5 x-6 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está trabalhando com o espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A missão aqui é descobrir quais dos conjuntos apresentados formam uma base para esse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base e como verificar se um conjunto de vetores (neste caso, polinômios) é uma base. Basicamente, uma base precisa ter vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de duas coisas importantes:
  1. Linearmente Independentes: Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, não tem redundância.
  2. Geração do Espaço: O conjunto de vetores gera o espaço se qualquer vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Para , uma base típica é , pois qualquer polinômio de grau no máximo 2 pode ser expresso como uma combinação linear desses três.

Passo 3

Vamos começar analisando a opção (a):
-1 -x + 2x^2, 2 + x - 2x^2, 1 - 2x + 4x^2
Para verificar se esse conjunto é uma base, precisamos conferir se os três polinômios são linearmente independentes. Vamos montar uma combinação linear igual a zero:
c1(-1 -x + 2x^2) + c2(2 + x - 2x^2) + c3(1 - 2x + 4x^2) = 0
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- c1 + 2c2 + c3 = 0 (coeficiente de x^0) - c1 + c2 - 2c3 = 0 (coeficiente de x^1) 2c1 - 2c2 + 4c3 = 0 (coeficiente de x^2)

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para ver se só a solução trivial (todos - c1 + 2c2 + c3 = 0 Rightarrow c1 = 2c2 + c3 ) existe.
Da primeira equação:
- (2c2 + c3) + c2 - 2c3 = 0 Rightarrow -2c2 - c3 + c2 - 2c3 = 0 Rightarrow -c2 - 3c3 = 0
Substituindo c2 = -3c3 na segunda equação:
2(2c2 + c3) - 2c2 + 4c3 = 0 Rightarrow 4c2 + 2c3 - 2c2 + 4c3 = 0 Rightarrow 2c2 + 6c3 = 0
Daqui, temos:
2(-3c3) + 6c3 = 0 Rightarrow -6c3 + 6c3 = 0 Rightarrow 0 = 0
Agora, substituindo e na terceira equação:
Substituindo :
Isso significa que temos infinitas soluções, ou seja, existe uma combinação não trivial que zera a combinação linear. Portanto, os polinômios são linearmente dependentes.

Passo 5

Como o conjunto da opção (a) é linearmente dependente, ele não forma uma base para .

Passo 6

Vamos verificar a opção (b):
1+2x+x^2, 3+x^2, x+x^2
Novamente, vamos montar a combinação linear igual a zero:
c1(1 + 2x + x^2) + c2(3 + x^2) + c3(x + x^2) = 0
Isso nos dá o sistema:
c1 + 3c2 = 0 (coeficiente de x^0) 2c1 + c3 = 0 (coeficiente de x^1) c1 + c2 + c3 = 0 (coeficiente de x^2)

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
c1 = -3c2
Da segunda equação:
2(-3c2) + c3 = 0 Rightarrow -6c2 + c3 = 0 Rightarrow c3 = 6c2
Substituindo -3c2 + c2 + 6c2 = 0 Rightarrow 4c2 = 0 Rightarrow c2 = 0 e na terceira equação:
Então, e . Apenas a solução trivial existe, o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 8

Como o conjunto da opção (b) é linearmente independente e contém três vetores (mesmo número da dimensão de ), ele forma uma base para o espaço.

Passo 9

Vamos analisar a opção ©:
1 -2x -2x^2, -2 + 3x - x^2, 1 -x +6x^2
Montando a combinação linear igual a zero:
c1(1 -2x -2x^2) + c2(-2 + 3x - x^2) + c3(1 -x +6x^2) = 0
Isso resulta no sistema:
c1 -2c2 + c3 = 0 (coeficiente de x^0) -2c1 + 3c2 - c3 = 0 (coeficiente de x^1) -2c1 - c2 + 6c3 = 0 (coeficiente de x^2)

Passo 10

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
c1 = 2c2 - c3
Substituindo -2(2c2 - c3) + 3c2 - c3 = 0 Rightarrow -4c2 + 2c3 + 3c2 - c3 = 0 Rightarrow -c2 + c3 = 0 na segunda equação:
c3 = c2
Então:
-2c1 - c2 + 6c3 = -2c2 - c2 + 6c2 = 3c2 = 0 Rightarrow c2 = 0
Agora, substituindo na terceira equação:
Portanto, e . Apenas a solução trivial existe, indicando que os vetores são linearmente independentes.

Passo 11

Como o conjunto da opção © é linearmente independente e possui três vetores, ele também forma uma base para .

Passo 12

Finalmente, vamos verificar a opção (d):
-1 + 2x +4x^2, 3 -4x -10x^2, -2 -5x -6x^2
Construindo a combinação linear igual a zero:
c1(-1 + 2x +4x^2) + c2(3 -4x -10x^2) + c3(-2 -5x -6x^2) = 0
Isso nos dá o sistema:
- c1 + 3c2 -2c3 = 0 (coeficiente de x^0) 2c1 -4c2 -5c3 = 0 (coeficiente de x^1) 4c1 -10c2 -6c3 = 0 (coeficiente de x^2)

Passo 13

Vamos resolver o sistema:
Da primeira equação:
- c1 + 3c2 -2c3 = 0 Rightarrow c1 = 3c2 -2c3
Substituindo 2(3c2 -2c3) -4c2 -5c3 = 0 Rightarrow 6c2 -4c3 -4c2 -5c3 = 0 Rightarrow 2c2 -9c3 = 0 na segunda equação:
2c2 = 9c3 Rightarrow c2 = 92c3
Daqui:
4(232c3) -10(92c3) -6c3 = 0 Rightarrow 46c3 -45c3 -6c3 = -5c3 = 0 Rightarrow c3 = 0
Agora, substituindo na terceira equação:
Então, e . Apenas a solução trivial existe, indicando que os vetores são linearmente independentes.

Passo 14

Como o conjunto da opção (d) é linearmente independente e possui três vetores, ele também forma uma base para .

Resposta

As opções (b), © e (d) são bases para . A opção (a) não é uma base.

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