O conjunto acima é LI ou LD ? Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de vetores e precisa descobrir se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ter vetores linearmente independentes. Dizemos que um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Se existir uma combinação não trivial (ou seja, com pelo menos um coeficiente diferente de zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar isso, vamos montar uma matriz com os vetores de e calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI. Se for zero, são LD. Nossa matriz fica assim:
Passo 4
Vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 times 1 times 6 + (-1) times 2 times 2 + 1 times 0 times 0 - (1 times 1 times 2 + (-1) times 0 times 6 + 1 times 2 times 0) . O determinante de uma matriz pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Passo 5
Vamos simplificar os cálculos passo a passo:
det(A) = (1 times 1 times 6) + (-1 times 2 times 2) + (1 times 0 times 0) - [(1 times 1 times 2) + (-1 times 0 times 6) + (1 times 2 times 0)]
det(A) = (6) + (-4) + (0) - [ (2) + (0) + (0) ]
det(A) = 6 - 4 - 2
det(A) = 0
Passo 6
Como o determinante da matriz é igual a zero (), isso significa que os vetores do conjunto são linearmente dependentes (LD). Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Resposta
O conjunto é linearmente dependente (LD), já que o determinante da matriz formada por seus vetores é zero.