Considere o conjunto:
W=[(1,0,2),(-1,1,0),(1,2,6)]
Escreva o vetor (1,3,2) como combinação linear dos vetores acima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever o vetor (1,3,2) como uma combinação linear dos vetores que estão no conjunto W = [(1,0,2), (-1,1,0), (1,2,6)]. Isso significa que vamos encontrar coeficientes que, quando multiplicados por cada vetor de W e somados, resultem no vetor (1,3,2). Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente o conceito de combinação linear e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a combinação linear desses vetores com coeficientes desconhecidos. Vamos chamar esses coeficientes de a, b e c. Então, temos:
a cdot (1, 0, 2) + b cdot (-1, 1, 0) + c cdot (1, 2, 6) = (1, 3, 2)
Isso significa que:
(a cdot 1) + (b cdot -1) + (c cdot 1) = 1 (componente x)
(a cdot 0) + (b cdot 1) + (c cdot 2) = 3 (componente y)
(a cdot 2) + (b cdot 0) + (c cdot 6) = 2 (componente z)

Passo 3

Agora, vamos montar um sistema de equações com essas informações:
a - b + c = 1 0a + b + 2c = 3 2a + 0b + 6c = 2
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar b:
b + 2c = 3 implies b = 3 - 2c
Agora, substituímos b na primeira equação:
a - (3 - 2c) + c = 1 a - 3 + 2c + c = 1 a + 3c = 4 implies a = 4 - 3c
Por fim, substituímos a na terceira equação:
2(4 - 3c) + 6c = 2 8 - 6c + 6c = 2 8 = 2
Hmm, isso não faz sentido. Parece que houve um erro na resolução. Vamos verificar novamente a terceira equação:
2a + 6c = 2 2(4 - 3c) + 6c = 2 8 - 6c + 6c = 2 8 = 2
Isso indica que não há solução para esse sistema, ou seja, o vetor (1,3,2) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em W.

Resposta

Não existe combinação linear dos vetores em W que resulte no vetor (1,3,2). Portanto, o vetor (1,3,2) não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores fornecidos.

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