Considere as matrizes
A=[ccc 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 ] e B=[ccc 2 & 6 & 8 2 & 9 & 12 -1 & -2 & -3 ]
b) Verifique se det(A cdot B)=(det A)(det B).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem duas matrizes, det(A cdot B) = (det A) times (det B) e , e a tarefa é verificar se o determinante do produto dessas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja, queremos checar se:
Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e como calcular determinantes. Vamos seguir passo a passo para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto das matrizes A = 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 e B = 2 & 6 & 8 2 & 9 & 12 -1 & -2 & -3 e (A cdot B)11 = (4)(2) + (-1)(2) + (3)(-1) = 8 - 2 - 3 = 3 , ou seja, (A cdot B)12 = (4)(6) + (-1)(9) + (3)(-2) = 24 - 9 - 6 = 9 . A multiplicação de matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
Dadas as matrizes:
(A cdot B)13 = (4)(8) + (-1)(12) + (3)(-3) = 32 - 12 - 9 = 11
Vamos calcular cada elemento de (A cdot B)21 = (3)(2) + (0)(2) + (1)(-1) = 6 + 0 - 1 = 5 :
(A cdot B)22 = (3)(6) + (0)(9) + (1)(-2) = 18 + 0 - 2 = 16
(A cdot B)23 = (3)(8) + (0)(12) + (1)(-3) = 24 + 0 - 3 = 21
(A cdot B)31 = (7)(2) + (2)(2) + (-4)(-1) = 14 + 4 + 4 = 22
(A cdot B)32 = (7)(6) + (2)(9) + (-4)(-2) = 42 + 18 + 8 = 68
(A cdot B)33 = (7)(8) + (2)(12) + (-4)(-3) = 56 + 24 + 12 = 92
A cdot B = 3 & 9 & 11 5 & 16 & 21 22 & 68 & 92
Então, a matriz produto é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A cdot B) = 3 times 16 times 92 + 9 times 21 times 22 + 11 times 5 times 68 - 11 times 16 times 22 - 9 times 5 times 92 - 3 times 21 times 68 . Para uma matriz 3 times 16 times 92 = 3 times 1472 = 4416 , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar.
9 times 21 times 22 = 9 times 462 = 4158
Calculando cada termo:
11 times 5 times 68 = 11 times 340 = 3740
11 times 16 times 22 = 11 times 352 = 3872
9 times 5 times 92 = 9 times 460 = 4140
3 times 21 times 68 = 3 times 1428 = 4284
det(A cdot B) = 4416 + 4158 + 3740 - 3872 - 4140 - 4284
det(A cdot B) = 12314 - 12296 = 18
Somando os positivos e subtraindo os negativos:

Passo 4

Agora, vamos calcular os determinantes das matrizes A = 4 & -1 & 3 3 & 0 & 1 7 & 2 & -4 e det A = 4(0)(-4) + (-1)(1)(7) + 3(3)(2) - 3(0)(7) - (-1)(3)(-4) - 4(1)(2) individualmente.
Primeiro, o determinante de 4 times 0 times (-4) = 0 :
-1 times 1 times 7 = -7
Usando a regra de Sarrus:
3 times 3 times 2 = 18
Calculando cada termo:
3 times 0 times 7 = 0
-1 times 3 times (-4) = 12
4 times 1 times 2 = 8
det A = 0 - 7 + 18 - 0 - 12 - 8 = -9
B = 2 & 6 & 8 2 & 9 & 12 -1 & -2 & -3
det B = 2(9)(-3) + 6(12)(-1) + 8(2)(-2) - 8(9)(-1) - 6(2)(-3) - 2(12)(-2)
Somando:
2 times 9 times (-3) = -54
Agora, o determinante de 6 times 12 times (-1) = -72 :
8 times 2 times (-2) = -32
Usando a regra de Sarrus:
8 times 9 times (-1) = -72
Calculando cada termo:
6 times 2 times (-3) = -36
2 times 12 times (-2) = -48
det B = -54 - 72 - 32 - (-72) - (-36) - (-48) = -54 -72 -32 +72 +36 +48 = -54 -72 -32 +156 = -158 +156 = -2
Somando:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os determinantes de (det A) times (det B) = (-9) times (-2) = 18 e :

Passo 6

Por fim, vamos comparar o determinante de det(A cdot B) = 18 e (det A) times (det B) = 18 que calculamos no Passo 3 com o produto dos determinantes de e que obtivemos no Passo 5.
Como ambos os valores são iguais, a igualdade está verificada.

Resposta

Sim, , já que ambos os valores são iguais a 18.

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