Podemos dizer que ? Em caso negativo complete a base encontrada no item acima e calcule uma base para o .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de três vetores em e queremos descobrir se eles conseguem “preencher” todo o espaço tridimensional, ou seja, se . Pra isso, vamos precisar entender se esses vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço . Se não der, a gente vai completar a base e encontrar uma base para .
Passo 2
Primeiro, vamos ver se os vetores de são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma combinação linear dos vetores dá o vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Para testar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Vamos montar a matriz:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante nos ajuda a saber se a matriz é invertível e, consequentemente, se os vetores são independentes.
O determinante de uma matriz det(A) = 1(1 times 6 - 2 times 0) - (-1)(0 times 6 - 2 times 2) + 1(0 times 0 - 1 times 2) é calculado assim:
det(A) = 1(6 - 0) - (-1)(0 - 4) + 1(0 - 2)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 6 + 4 - 2 = 8
Passo 4
Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que os vetores de são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .
Então, respondendo à primeira parte da questão: Sim, porque os vetores são suficientes para gerar todo o espaço tridimensional.