Considere o conjunto:
Determine as condições sobre
, y e
para que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto W formado por três vetores: (1, 0, 2), (-1, 1, 0) e (1, 2, 6). A missão aqui é descobrir quais valores de x, y e z fazem com que o vetor (x, y, z) pertença a esse conjunto W. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinação linear de vetores e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, para o vetor (x, y, z) estar em W, ele precisa ser uma combinação linear dos vetores que formam W. Isso significa que existem números (coeficientes) a, b e c tais que:
Passo 3
Vamos expandir essa combinação:
Isso resulta nas seguintes equações para cada componente:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (a, b, c). Vamos resolver esse sistema para encontrar condições em x, y e z.
Primeiro, da segunda equação:
Substituindo b na primeira e terceira equações:
Passo 5
Agora, podemos expressar a em termos de z e c a partir da terceira equação:
Substituindo a na equação de x:
Passo 6
Então, temos que:
Essa é a condição principal que relaciona x, y e z para que o vetor (x, y, z) esteja em W.
Resposta
Para que o vetor (x, y, z) pertença ao conjunto W, os valores devem satisfazer a equação:
Ou seja, a condição é que x seja igual a z dividido por 2 menos y.