Considere o conjunto:
W=[(1,0,2),(-1,1,0),(1,2,6)]
Determine as condições sobre x, y e z para que (x, y, z) € W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto W formado por três vetores: (1, 0, 2), (-1, 1, 0) e (1, 2, 6). A missão aqui é descobrir quais valores de x, y e z fazem com que o vetor (x, y, z) pertença a esse conjunto W. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre combinação linear de vetores e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, para o vetor (x, y, z) estar em W, ele precisa ser uma combinação linear dos vetores que formam W. Isso significa que existem números (coeficientes) a, b e c tais que:
(x, y, z) = a cdot (1, 0, 2) + b cdot (-1, 1, 0) + c cdot (1, 2, 6)

Passo 3

Vamos expandir essa combinação:
(x, y, z) = (a cdot 1 + b cdot (-1) + c cdot 1,; a cdot 0 + b cdot 1 + c cdot 2,; a cdot 2 + b cdot 0 + c cdot 6)
Isso resulta nas seguintes equações para cada componente:
x = a - b + c y = 0a + b + 2c z = 2a + 0b + 6c

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas (a, b, c). Vamos resolver esse sistema para encontrar condições em x, y e z.
Primeiro, da segunda equação:
y = b + 2c Rightarrow b = y - 2c
Substituindo b na primeira e terceira equações:
x = a - (y - 2c) + c = a - y + 3c
z = 2a + 6c

Passo 5

Agora, podemos expressar a em termos de z e c a partir da terceira equação:
z = 2a + 6c Rightarrow 2a = z - 6c Rightarrow a = z - 6c2
Substituindo a na equação de x:
x = z - 6c2 - y + 3c = z2 - 3c - y + 3c = z2 - y

Passo 6

Então, temos que:
x = z2 - y
Essa é a condição principal que relaciona x, y e z para que o vetor (x, y, z) esteja em W.

Resposta

Para que o vetor (x, y, z) pertença ao conjunto W, os valores devem satisfazer a equação:
x = z2 - y
Ou seja, a condição é que x seja igual a z dividido por 2 menos y.

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