Considere o conjunto:
W=[(1,0,2),(-1,1,0),(1,2,6)]
Mostre que W é subespaço vetorial de R^3.

Passo 1

Então, temos um conjunto W que é formado pelos vetores , e no espaço . A gente vai mostrar que esse conjunto W é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar lembrar o que caracteriza um subespaço vetorial: ele precisa conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W. Um subespaço sempre tem que ter o vetor zero porque ele é o “ponto de partida” de todas as combinações lineares.

Passo 3

Vamos ver se o vetor zero pode ser obtido como uma combinação linear dos vetores que estão em W. Ou seja, precisamos encontrar escalares a(1,0,2) + b(-1,1,0) + c(1,2,6) = (0,0,0) , a - b + c = 0 0a + b + 2c = 0 2a + 0b + 6c = 0 e tais que:
Isso dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vemos que é a única solução. Então, o vetor zero está em W.

Passo 4

Agora, vamos verificar se W é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em W e somarmos, o resultado também deve estar em W. Se e , então . Como os coeficientes , e são apenas novos escalares, a soma também está em W.

Passo 5

Por último, vamos ver se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se pegarmos um vetor qualquer em W e multiplicarmos por um número qualquer , o resultado também deve estar em W. Se , então . Novamente, os coeficientes , e são apenas novos escalares, e assim também está em W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados