I+A X^t=A^2 & Leftrightarrow A X^t=A^2-I & Leftrightarrow A^-1 A X^t=A^-1(A^2-I) & Leftrightarrow X^t=A-A^-1 & Leftrightarrow X=(A-A^-1)^t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. Temos a equação matricial . Aqui, é a matriz identidade, é uma matriz qualquer, e representa a transposta da matriz . Nosso objetivo é encontrar a matriz . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra de matrizes, como a inversa de uma matriz e propriedades das transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo que contém I + A X^t = A^2 Rightarrow A X^t = A^2 - I . Subtraindo de ambos os lados da equação, temos:
Aqui, estamos usando a propriedade de que podemos fazer operações similares nos dois lados da equação para manter a igualdade.

Passo 3

Agora, queremos isolar A X^t = A^2 - I Rightarrow A^-1 A X^t = A^-1 (A^2 - I) . Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de X^t = A - A^-1 , que é . Lembrando que :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade de que e distribuímos sobre a subtração.

Passo 4

Finalmente, para encontrar X^t = A - A^-1 Rightarrow X = (A - A^-1)^t , vamos tirar a transposta de ambos os lados da equação. Sabemos que a transposta de uma transposta retorna a matriz original, ou seja, . Assim:

Resposta

Portanto, a matriz X = ( A - A^-1 )^t é igual à transposta de menos a inversa de :

Exercícios relacionados