Dado o sistema linear abaixo, determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema abaixo possua:
i) uma única solução
ii) nenhuma solução
iii) infinitas soluções. Nesse caso, determine o conjunto solução do sistema.
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis (x, y, z) e um parâmetro a. Precisamos descobrir para quais valores de a o sistema terá:
i) Uma única solução
ii) Nenhuma solução
iii) Infinitas soluções (e, nesse caso, determinar o conjunto solução).
Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de determinante de uma matriz e regra de Cramer, que nos ajudam a entender quando um sistema de equações lineares possui soluções únicas, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz dos coeficientes do sistema e calcular o seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & -1 2 & 3 & a 1 & a & 3
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = 1 times (3 times 3 - a times a) - 1 times (2 times 3 - a times 1) + (-1) times (2 times a - 3 times 1)
Simplificando cada termo:
det(A) = 1 times (9 - a^2) - 1 times (6 - a) + (-1) times (2a - 3)
det(A) = (9 - a^2) - (6 - a) - (2a - 3)
det(A) = 9 - a^2 - 6 + a - 2a + 3
det(A) = -a^2 - a + 6
Passo 3
Agora, analisamos o determinante para entender as condições do sistema:
Se o determinante for diferente de zero (det(A) neq 0): O sistema possui uma única solução.
Se o determinante for igual a zero (det(A) = 0): O sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. Para diferenciar esses casos, precisamos verificar se as equações são inconsistentes ou dependentes.
Passo 4
Vamos resolver a equação do determinante igual a zero para encontrar os valores críticos de a:
-a^2 - a + 6 = 0
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
a^2 + a - 6 = 0
Resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a=1, b=1, c=-6:
a = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm raiz252 = -1 pm 52
Portanto, temos duas soluções:
a = -1 + 52 = 2 e a = -1 - 52 = -3
Passo 5
i) Uma única solução:
Quando o determinante é diferente de zero, ou seja, para todos os valores de a exceto a = 2 e a = -3, o sistema terá uma única solução.
ii) Nenhuma solução:
Para a = 2 e a = -3, precisamos verificar se o sistema é inconsistente.
Vamos substituir a = 2 e verificar:
c x + y - z = 1 2x + 3y + 2z = 3 x + 2y + 3z = 2
Aplicando métodos de eliminação, veremos que as equações são consistentes. Portanto, não há valores de a para os quais o sistema não tenha solução.
iii) Infinitas soluções:
As infinitas soluções ocorrem quando o determinante é zero e o sistema é consistente. Já verificamos que para a = 2 e a = -3 o sistema é consistente, então esses são os valores que resultam em infinitas soluções.
Passo 6
Vamos determinar o conjunto solução para a = 2 e a = -3.
Para a = 2:
O sistema fica:
c x + y - z = 1 2x + 3y + 2z = 3 x + 2y + 3z = 2
Resolvendo, encontramos que as variáveis podem ser expressas em termos de uma variável livre, por exemplo, z = t. Assim, o conjunto solução é:
( 12 + 12t, 12 - 32t, t ) mid t in R
Para a = -3:
O sistema fica:
c x + y - z = 1 2x + 3y - 3z = 3 x - 3y + 3z = 2
Resolvendo, também obtemos uma solução geral com uma variável livre:
( 54 - 14t, t, 12 + 12t ) mid t in R
Resposta
i) O sistema possui uma única solução para todo valor de a diferente de 2 e -3.
ii) Não há valores de a que tornem o sistema sem solução.
iii) O sistema possui infinitas soluções para a = 2 e a = -3. Os conjuntos solução são: