Considere o conjunto:
W=[(1,0,2),(-1,1,0),(1,2,6)]
Encontre uma base para W e determine sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto de três vetores em e pede para encontrar uma base para o espaço que eles geram, chamado , além de determinar a dimensão desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais, base, linearidade e dimensão. Basicamente, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes e, se não forem, encontrar um subconjunto que forme uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os vetores:
v1 = (1, 0, 2), v2 = (-1, 1, 0), v3 = (1, 2, 6)
Queremos ver se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Se não, vamos eliminar os que são combinações lineares dos outros.

Passo 3

Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 2 & 0 & 6
Vamos usar a eliminação de Gauss para ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero (o que indicaria independência).

Passo 4

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Deixamos o primeiro elemento da primeira coluna como 1.
  2. Zeramos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
  3. Repetimos o processo para a segunda coluna.
Após as operações, a matriz fica na forma triangular:
1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4
Como não há linhas de zeros, o determinante é diferente de zero, o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Como os três vetores são linearmente independentes e estão em , eles formam uma base para . A dimensão de é igual ao número de vetores na base, ou seja, 3.

Resposta

Uma base para é e a dimensão de é 3.

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