Encontre uma base para W e determine sua dimensão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um conjunto de três vetores em e pede para encontrar uma base para o espaço que eles geram, chamado , além de determinar a dimensão desse espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre espaços vetoriais, base, linearidade e dimensão. Basicamente, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes e, se não forem, encontrar um subconjunto que forme uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos listar os vetores:
Queremos ver se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles já formam uma base. Se não, vamos eliminar os que são combinações lineares dos outros.
Passo 3
Para verificar a independência linear, montamos uma matriz com esses vetores como colunas:
Vamos usar a eliminação de Gauss para ver se o determinante dessa matriz é diferente de zero (o que indicaria independência).
Passo 4
Aplicando a eliminação de Gauss:
Deixamos o primeiro elemento da primeira coluna como 1.
Zeramos os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.
Repetimos o processo para a segunda coluna.
Após as operações, a matriz fica na forma triangular:
1 & -1 & 1 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4
Como não há linhas de zeros, o determinante é diferente de zero, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como os três vetores são linearmente independentes e estão em , eles formam uma base para . A dimensão de é igual ao número de vetores na base, ou seja, 3.