Num triângulo retângulo, um dos cateos mede 12 cm e o ângulo oposto a este cateto mede 30^circ. Represente graficamente este triângulo, calcule e indique nesta representação a medida de todos os lados e todos os ângulos deste.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um triângulo retângulo onde um dos catetos mede 12 cm e o ângulo oposto a esse cateto é de . Vamos precisar usar trigonometria básica e conhecer um pouquinho sobre triângulos especiais, especialmente o triângulo 30-60-90.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é 90^circ + 30^circ + Ângulo = 180^circ . Como já sabemos que um dos ângulos é de Ângulo = 180^circ - 90^circ - 30^circ = 60^circ (porque é retângulo) e outro é de , podemos encontrar o terceiro ângulo:
Â
Â
Então, os ângulos do triângulo são , e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os lados. Sabemos que o triângulo é 30-60-90, que tem lados proporcionais específicos:
  • O lado oposto ao x = 12 cm (cateto menor) é .
  • O lado oposto ao (cateto maior) é .
  • A hipotenusa é .
Nesse caso, o cateto menor é 12 cm, então:

Passo 4

Vamos calcular os outros lados usando as proporções do triângulo 30-60-90:
  • Cateto maior:
xraiz3 = 12 times raiz3 approx 12 times 1,732 = 20,784 cm
  • Hipotenusa:
2x = 2 times 12 = 24 cm

Passo 5

Agora, vamos representar graficamente o triângulo com todas as medidas conhecidas:
      |
      |\
      | \
20,784|  \ 24
      |   \
      |____\
      12
  • Ângulos:
    • Ângulo inferior esquerdo:
    • Ângulo superior:
    • Ângulo direito:
  • Lados:
    • Cateto menor: 12 cm
    • Cateto maior: 20,784 cm
    • Hipotenusa: 24 cm

Resposta

Todas as medidas do triângulo são:
  • Ângulos: , e
  • Lados: 12 cm, aproximadamente 20,784 cm e 24 cm

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