Um triângulo retângulo A B C, retãngulo em A, tem os catetos medindo 15 cm e 20 cm . Determine a medida da hipotenusa deste triângulo retãngo e represente-o graficamente, indicando suas respectivas medidas. Determine também o valor do seno e do cosseno dos ângulos B e C.

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver esse exercício juntos. O problema fala sobre um triângulo retângulo , que é retângulo no vértice . Os catetos medem 15 cm e 20 cm. Vamos precisar usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa e, depois, vamos calcular os valores do seno e do cosseno dos ângulos e . Também vamos representar graficamente o triângulo com as medidas encontradas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a medida da hipotenusa usando o Teorema de Pitágoras. Esse teorema diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A fórmula é:
c = raiza^2 + b^2
Onde:
  • é a hipotenusa,
  • e são os catetos.

Passo 3

Substituindo os valores dos catetos na fórmula:
c = raiz15^2 + 20^2 = raiz225 + 400 = raiz625 = 25 cm
Então, a hipotenusa mede 25 cm.

Passo 4

Agora, vamos representar graficamente o triângulo retângulo com as medidas encontradas. O triângulo fica assim:
  • Vértice : Ângulo reto.
  • Cateto : 15 cm.
  • Cateto : 20 cm.
  • Hipotenusa : 25 cm.
A
|\
| \
15 cm \
|      \
|_______\
B   20 cm   C

Passo 5

Vamos calcular agora os valores do seno e do cosseno dos ângulos e . Lembrando que:
  • O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
  • O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Passo 6

Para o ângulo sin(B) = 1525 = 0,6 :
  • Cateto oposto: 15 cm
  • Cateto adjacente: 20 cm
Então:
cos(B) = 2025 = 0,8

Passo 7

Para o ângulo sin(C) = 2025 = 0,8 :
  • Cateto oposto: 20 cm
  • Cateto adjacente: 15 cm
Então:
cos(C) = 1525 = 0,6

Resposta

A hipotenusa do triângulo retângulo mede 25 cm. Os valores dos senos e cossenos dos ângulos são:
  • Para o ângulo :
  • Para o ângulo :

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