Considere os conjuntos e . Determine:
a)
b)
c)
d)
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos, e . A matéria que vamos usar aqui é sobre produtos cartesianos e relações entre conjuntos. O que precisamos é entender como combinar os elementos desses conjuntos de diferentes formas para responder às partes de a) a e).

Passo 2

a)
O produto cartesiano é basicamente todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de e o segundo de . Para cada elemento de , vamos emparelhar com cada elemento de .
Então, temos:

Passo 3

b)
Aqui, trocamos a ordem dos conjuntos. Agora, o primeiro elemento vem de e o segundo de . Vamos seguir o mesmo raciocínio:

Passo 4

c) ( R_{1} = {, (a, b) \in A \times B \mid b = a + 1 ,}
Estamos definindo uma relação onde é igual a . Vamos olhar para os pares de e ver quais satisfazem essa condição.
Calculando para cada em :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a relação é:

Passo 5

d) ( R_{2} = {, (a, b) \in B \times A \mid a \backslash b ,}
Aqui, a relação envolve apenas elementos onde . Vamos interpretar isso como a diferença entre conjuntos, mas parece haver uma notação ambígua. Supondo que significa que está relacionado a de alguma forma específica, precisamos de mais informação. Porém, como não está claro, vamos considerar que essa parte pode estar mal formulada.
Sem uma definição clara de , não podemos determinar os pares exatos. Seria bom revisar o enunciado ou fornecer mais contexto para resolver essa parte corretamente.

Passo 6

e) ( R_{3} = {, (a, b) \in B^{2} \mid b = a^{2} ,}
Aqui, a gente está olhando para pares onde é o quadrado de . Como é , os elementos de ambos os componentes vêm de . Vamos verificar quais pares satisfazem .
Calculando para cada em :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para : → Mas 16 não está em , então descartamos.
  • Para : → Também não está em , descartamos.
Então, a relação é:

Resposta

a)
b)
c)
d) Não foi possível determinar devido à ambiguidade na definição de .
e)

Exercícios relacionados

(CPCAR-2003) De dois conjuntos A e B, sabe-se que:
I. O número de elementos que pertencem a é 45 ;
II. desses elementos pertencem a ambos os conjuntos;
III. O conjunto A tem 9 elementos a mais que o conjunto B.
Então, o número de elementos de cada conjunto é
a) e
b) e
c) e
d) e
(Machenzie-SP) Num grupo constituído de pessoas, das quais 14 jogam xadrez, 40 são homens. Se dos homens jogam xadrez e das mulheres não jogam xadrez, então o valor de é:
a) 62
b) 70
c) 78
d) 84
e) 90
(Vunesp-2003) Uma empresa que fabrica o refrigerante Refridagalera fez uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores em relação ao seu produto e àquele de um de seus concorrentes, o Refridamoçada. Foram ouvidas 1000 pessoas, das quais 600 consumiam o Refridagalera, 500 consumiam o Refridamoçada e 100, nenhum deles.
Determine a quantidade de pessoas que consomem:
a) Refridagalera e Refridamoçada.
b) Refridagalera ou Refridamoçada.
Seja a relação em tal que:
a) Quais são os elementos de ?
b) é reflexiva? é simétrica? é transitiva? é anti-simétrica?
c) é uma relação de equivalência? Em caso positivo, descreva e o conjunto quociente .