Considere os conjuntos
e
. Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois conjuntos,
e
. A matéria que vamos usar aqui é sobre produtos cartesianos e relações entre conjuntos. O que precisamos é entender como combinar os elementos desses conjuntos de diferentes formas para responder às partes de a) a e).
Passo 2
a)
O produto cartesiano
é basicamente todos os pares ordenados onde o primeiro elemento vem de
e o segundo de
. Para cada elemento de
, vamos emparelhar com cada elemento de
.
Então, temos:
Passo 3
b)
Aqui, trocamos a ordem dos conjuntos. Agora, o primeiro elemento vem de
e o segundo de
. Vamos seguir o mesmo raciocínio:
Passo 4
c) ( R_{1} = {, (a, b) \in A \times B \mid b = a + 1 ,}
Estamos definindo uma relação onde
é igual a
. Vamos olhar para os pares de
e ver quais satisfazem essa condição.
Calculando
para cada
em
:
- Para
: → - Para
: → - Para
: →
Então, a relação
é:
Passo 5
d) ( R_{2} = {, (a, b) \in B \times A \mid a \backslash b ,}
Aqui, a relação envolve apenas elementos onde
. Vamos interpretar isso como a diferença entre conjuntos, mas parece haver uma notação ambígua. Supondo que
significa que
está relacionado a
de alguma forma específica, precisamos de mais informação. Porém, como não está claro, vamos considerar que essa parte pode estar mal formulada.
Sem uma definição clara de
, não podemos determinar os pares exatos. Seria bom revisar o enunciado ou fornecer mais contexto para resolver essa parte corretamente.
Passo 6
e) ( R_{3} = {, (a, b) \in B^{2} \mid b = a^{2} ,}
Aqui, a gente está olhando para pares onde
é o quadrado de
. Como
é
, os elementos de ambos os componentes vêm de
. Vamos verificar quais pares satisfazem
.
Calculando
para cada
em
:
- Para
: → - Para
: → - Para
: → - Para
: → Mas 16 não está em , então descartamos. - Para
: → Também não está em , descartamos.
Então, a relação
é:
Resposta
a)
b)
c)
d) Não foi possível determinar
devido à ambiguidade na definição de
.
e)