Seja
a relação em
tal que:
a) Quais são os elementos de
?
b)
é reflexiva?
é simétrica?
é transitiva?
é anti-simétrica?
c)
é uma relação de equivalência? Em caso positivo, descreva
e o conjunto quociente
.
b)
c)
Passo 1
Então, temos um conjunto
e uma relação
definida por:
Isso significa que
está relacionado com
se a diferença
for divisível por 3. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender conceitos de relações reflexivas, simétricas, transitivas, anti-simétricas e de relações de equivalência.
Passo 2
a) Quais são os elementos de
?
Vamos encontrar todos os pares
em
onde
divide
.
Primeiro, listamos os elementos de
:
Agora, para cada elemento
em
, vemos quais
também em
satisfazem
.
Por exemplo:
-
Para
: Precisamos detal que seja múltiplo de 3. Os possíveissão 1 e 4 e 7, porque:
Repetimos esse processo para todos os
em
.
Passo 3
Vamos listar todos os pares que pertencem a
:
Passo 4
b) Analisando as propriedades de
:
-
Reflexiva:Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo, ou seja,
para todo . Observando, vemos que todos os pares estão presentes. Portanto, é reflexiva. -
Simétrica:Uma relação é simétrica se sempre que
, então . Observando os pares, se, então , e assim por diante para todos. Logo, é simétrica. -
Transitiva:Uma relação é transitiva se sempre que
e , então . Por exemplo,e estão em , assim também está, o que confirma a transitividade. Testando outros pares, confirmamos que é transitiva. -
Anti-simétrica:Uma relação é anti-simétrica se sempre que
e , então . No entanto, temos pares comoe em onde , o que viola a anti-simetria. Portanto, não é anti-simétrica.
Passo 5
c)
é uma relação de equivalência?
Sim, porque
satisfaz as três propriedades necessárias para ser uma relação de equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva.
Descrição de
:
A classe de equivalência de 2,
, é o conjunto de todos os elementos em
que estão relacionados com 2 por
. Ou seja:
Conjunto quociente
:
O conjunto quociente é o conjunto de todas as classes de equivalência de
. Assim:
Resposta
a) Os elementos de
são:
b)
-
é reflexiva. -
é simétrica. -
é transitiva. -
não é anti-simétrica.
c)
- Sim,
é uma relação de equivalência. - A classe de equivalência de 2 é
. - O conjunto quociente é
.
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(Vunesp-2003) Uma empresa que fabrica o refrigerante Refridagalera fez uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores em relação ao seu produto e àquele de um de seus concorrentes, o Refridamoçada. Foram ouvidas 1000 pessoas, das quais 600 consumiam o Refridagalera, 500 consumiam o Refridamoçada e 100, nenhum deles.
Determine a quantidade de pessoas que consomem:
a) Refridagalera e Refridamoçada.
b) Refridagalera ou Refridamoçada.
Determine a quantidade de pessoas que consomem:
a) Refridagalera e Refridamoçada.
b) Refridagalera ou Refridamoçada.
Considere os conjuntos
e
. Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Encontre os limites.
Encontre os limites.