Seja R a relação em E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} tal que:
x R y ↔ 3 \ x - y
a) Quais são os elementos de R ?
b) R é reflexiva? R é simétrica? R é transitiva? R é anti-simétrica?
c) R é uma relação de equivalência? Em caso positivo, descreva 2 e o conjunto quociente E / R.

Passo 1

Então, temos um conjunto e uma relação definida por:
Isso significa que está relacionado com se a diferença for divisível por 3. Para resolver as perguntas, vamos precisar entender conceitos de relações reflexivas, simétricas, transitivas, anti-simétricas e de relações de equivalência.

Passo 2

a) Quais são os elementos de ?
Vamos encontrar todos os pares em onde divide .
Primeiro, listamos os elementos de :
Agora, para cada elemento em , vemos quais também em satisfazem .
Por exemplo:
  • Para :
    Precisamos de tal que seja múltiplo de 3.
    Os possíveis são 1 e 4 e 7, porque:
    ú
    ú
    ú
Repetimos esse processo para todos os em .

Passo 3

Vamos listar todos os pares que pertencem a :

Passo 4

b) Analisando as propriedades de :
  1. Reflexiva:
    Uma relação é reflexiva se todo elemento está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo .
    Observando , vemos que todos os pares estão presentes. Portanto, é reflexiva.
  2. Simétrica:
    Uma relação é simétrica se sempre que , então .
    Observando os pares, se , então , e assim por diante para todos. Logo, é simétrica.
  3. Transitiva:
    Uma relação é transitiva se sempre que e , então .
    Por exemplo, e estão em , assim também está, o que confirma a transitividade. Testando outros pares, confirmamos que é transitiva.
  4. Anti-simétrica:
    Uma relação é anti-simétrica se sempre que e , então .
    No entanto, temos pares como e em onde , o que viola a anti-simetria. Portanto, não é anti-simétrica.

Passo 5

c) é uma relação de equivalência?
Sim, porque satisfaz as três propriedades necessárias para ser uma relação de equivalência: reflexiva, simétrica e transitiva.
Descrição de :
A classe de equivalência de 2, , é o conjunto de todos os elementos em que estão relacionados com 2 por . Ou seja:
Conjunto quociente :
O conjunto quociente é o conjunto de todas as classes de equivalência de . Assim:

Resposta

a) Os elementos de são:
b)
  • é reflexiva.
  • é simétrica.
  • é transitiva.
  • não é anti-simétrica.
c)
  • Sim, é uma relação de equivalência.
  • A classe de equivalência de 2 é .
  • O conjunto quociente é .

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