Considere os conjuntos
S=P in R^2:|P|=4
e
T=Q in R^2: Q=12 P para algum P in S
(b) Faça um esboço do conjunto T no plano cartesiano \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

Então, a gente tem dois conjuntos aqui. O primeiro, chamado , é formado por todos os pontos no plano que estão a uma distância de 4 unidades da origem. Ou seja, é um círculo com raio 4. O segundo conjunto, , é formado por todos os pontos que são metade dos pontos em . Para resolver esse exercício, vamos precisar entender como a escala de vetores afeta a representação gráfica desses conjuntos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um ponto no conjunto tem coordenadas que satisfazem . Isso significa que onde . Geometricamente, isso descreve um círculo com raio 4 centrado na origem.

Passo 3

Agora, o conjunto é definido por para algum . Isso significa que cada coordenada de é metade da coordenada correspondente de . Se , então .

Passo 4

Vamos ver o que acontece com o comprimento de |Q| = raiz(x2)^2 + (y2)^2 = 12raizx^2 + y^2 = 12 cdot 4 = 2 . A norma de é:
Então, todos os pontos têm norma 2, o que significa que é um conjunto de pontos a uma distância de 2 unidades da origem.

Resposta

O conjunto é um círculo centrado na origem com raio 2 no plano cartesiano .

Exercícios relacionados

Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de R^4, faça o que se pede:
a) Mostre que W é um subespaço de R^4;
Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de R^4, faça o que se pede:
b) Encontre os geradores de W e a partir destes determine uma base para W.
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Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de R^4, faça o que se pede:
c) Qual a dimensão de W ?