Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de R^4, faça o que se pede:
a) Mostre que W é um subespaço de R^4;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos o conjunto e precisamos mostrar que é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três propriedades fundamentais:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição de vetores.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 3(0) - 0 - 2(0) = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso confirma que o vetor zero satisfaz a equação, então ele está em .

Passo 3

Agora, vamos testar se 3x1 - y1 - 2z1 = 0 é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em 3x2 - y2 - 2z2 = 0 , sua soma também deve estar em 3(x1 + x2) - (y1 + y2) - 2(z1 + z2) .
Sejam = 3x1 + 3x2 - y1 - y2 - 2z1 - 2z2 e = (3x1 - y1 - 2z1) + (3x2 - y2 - 2z2) em = 0 + 0 . Isso significa que:
= 0
A soma . Vamos verificar se este vetor também satisfaz a equação de :
Então, a soma também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se 3x - y - 2z = 0 é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor qualquer em 3(cx) - (cy) - 2(cz) e multiplicarmos por um escalar qualquer = c(3x - y - 2z) , o resultado também deve estar em = c cdot 0 .
Seja = 0 em e um escalar. Então:
Multiplicando o vetor por , temos . Vamos verificar a equação:
Portanto, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de R^4, faça o que se pede:
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Determine os valores reais de k, tais que o sistema linear dado tenha: (i) uma única solução; (ii) infinitas soluções; (iii) nenhuma solução:
ccc -2 x & -3 y-k z & =-3 x+y-z & =1 x & +k y & +3 z=2
Considere os conjuntos
S=P in R^2:|P|=4
e
T=Q in R^2: Q=12 P para algum P in S
(b) Faça um esboço do conjunto T no plano cartesiano \mathbb{R}^{2}.
Mostre que qualquer base de R^m tem m vectores.