Dado o subconjunto
de
, faça o que se pede:
a) Mostre que
é um subespaço de
;
a) Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos o conjunto
e precisamos mostrar que
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três propriedades fundamentais:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição de vetores. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Isso confirma que o vetor zero satisfaz a equação, então ele está em
.
Passo 3
Agora, vamos testar se
é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, sua soma também deve estar em
.
Sejam
e
em
. Isso significa que:
A soma
. Vamos verificar se este vetor também satisfaz a equação de
:
Então, a soma
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor qualquer em
e multiplicarmos por um escalar qualquer
, o resultado também deve estar em
.
Seja
em
e
um escalar. Então:
Multiplicando o vetor por
, temos
. Vamos verificar a equação:
Portanto,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.