Dado o subconjunto de , faça o que se pede:
a) Mostre que é um subespaço de ;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos o conjunto e precisamos mostrar que é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três propriedades fundamentais:
O vetor zero está em .
é fechado sob adição de vetores.
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso confirma que o vetor zero satisfaz a equação, então ele está em .
Passo 3
Agora, vamos testar se é fechado sob a adição de vetores. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer em , sua soma também deve estar em .
Sejam e em . Isso significa que:
A soma . Vamos verificar se este vetor também satisfaz a equação de :
Então, a soma também está em .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que, se pegarmos um vetor qualquer em e multiplicarmos por um escalar qualquer , o resultado também deve estar em .
Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando o vetor por , temos . Vamos verificar a equação:
Portanto, também está em .
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .