Dado o subconjunto
de
, faça o que se pede:
b) Encontre os geradores de
e a partir destes determine uma base para
.
b) Encontre os geradores de
Passo 1
Beleza, a gente tem o subconjunto
. O que precisamos fazer aqui é encontrar os geradores de
e, a partir deles, determinar uma base para
. Isso envolve entender como qualquer vetor em
pode ser construído a partir de certos vetores fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação que define
:
. Podemos resolver essa equação para uma das variáveis para facilitar a parametrização. Vamos isolar
:
Passo 3
Agora, podemos expressar qualquer vetor
em
usando essa relação:
Passo 4
Vamos reescrever esse vetor como uma combinação linear de vetores com coeficientes
,
e
:
Passo 5
Os vetores que multiplicamos por
,
e
são os geradores de
:
Passo 6
Para encontrar uma base para
, precisamos verificar se esses geradores são linearmente independentes. Olhando para eles, percebemos que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros, o que confirma que são linearmente independentes.
Resposta
Os geradores de
são
. Como esses vetores são linearmente independentes, uma base para
é dada por: