Dado o subconjunto de , faça o que se pede:
b) Encontre os geradores de e a partir destes determine uma base para .
Passo 1
Beleza, a gente tem o subconjunto . O que precisamos fazer aqui é encontrar os geradores de e, a partir deles, determinar uma base para . Isso envolve entender como qualquer vetor em pode ser construído a partir de certos vetores fundamentais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação que define : . Podemos resolver essa equação para uma das variáveis para facilitar a parametrização. Vamos isolar :
Passo 3
Agora, podemos expressar qualquer vetor em usando essa relação:
Passo 4
Vamos reescrever esse vetor como uma combinação linear de vetores com coeficientes , e :
Passo 5
Os vetores que multiplicamos por , e são os geradores de :
Passo 6
Para encontrar uma base para , precisamos verificar se esses geradores são linearmente independentes. Olhando para eles, percebemos que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros, o que confirma que são linearmente independentes.
Resposta
Os geradores de são . Como esses vetores são linearmente independentes, uma base para é dada por: