Dado o subconjunto W=(x, y, z, t) in R^4 ; 3 x-y-2 z=0 de R^4, faça o que se pede:
b) Encontre os geradores de W e a partir destes determine uma base para W.

Passo 1

Beleza, a gente tem o subconjunto . O que precisamos fazer aqui é encontrar os geradores de e, a partir deles, determinar uma base para . Isso envolve entender como qualquer vetor em pode ser construído a partir de certos vetores fundamentais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação que define y = 3x - 2z : . Podemos resolver essa equação para uma das variáveis para facilitar a parametrização. Vamos isolar :

Passo 3

Agora, podemos expressar qualquer vetor (x, y, z, t) = (x, 3x - 2z, z, t) em usando essa relação:

Passo 4

Vamos reescrever esse vetor como uma combinação linear de vetores com coeficientes (x, 3x - 2z, z, t) = x cdot (1, 3, 0, 0) + z cdot (0, -2, 1, 0) + t cdot (0, 0, 0, 1) , e :

Passo 5

Os vetores que multiplicamos por , (1, 3, 0, 0),; (0, -2, 1, 0),; (0, 0, 0, 1) , , e são os geradores de :

Passo 6

Para encontrar uma base para , precisamos verificar se esses geradores são linearmente independentes. Olhando para eles, percebemos que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros, o que confirma que são linearmente independentes.

Resposta

Os geradores de , (1, 3, 0, 0),; (0, -2, 1, 0),; (0, 0, 0, 1) , são . Como esses vetores são linearmente independentes, uma base para é dada por:

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