Mostre que qualquer base de R^m tem m vectores.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que qualquer base de tem exatamente vetores. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases e dimensões de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa a dimensão de um espaço vetorial e como esses conceitos estão relacionados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Em outras palavras, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.

Passo 3

Agora, o que significa linearmente independente? Significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores da base. Isso é importante porque garante que cada vetor da base traz uma “direção nova” que não estava sendo coberta pelos outros vetores.

Passo 4

A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço. Então, se sabemos que tem dimensão , isso significa que qualquer base desse espaço deve ter exatamente vetores.

Passo 5

Agora, para mostrar que qualquer base de tem vetores, vamos usar o seguinte raciocínio:
  1. Sabemos que tem dimensão .
  2. Por definição, qualquer base de tem um número de vetores igual à dimensão do espaço.
  3. Portanto, qualquer base de deve ter exatamente vetores.

Passo 6

Vamos formalizar isso um pouco mais. Imagine que temos uma base para . Como é uma base, ela é linearmente independente e gera . Mas, como sabemos que a dimensão de é , o número de vetores na base não pode ser maior ou menor que , caso contrário, não estaríamos cobrindo todo o espaço ou teríamos vetores redundantes.

Passo 7

Portanto, concluímos que . Isso significa que qualquer base de tem exatamente vetores.

Resposta

Qualquer base de possui exatamente vetores.

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