Mostre que qualquer base de
tem
vectores.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que qualquer base de
tem exatamente
vetores. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre bases e dimensões de espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, o que significa a dimensão de um espaço vetorial e como esses conceitos estão relacionados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Em outras palavras, qualquer vetor no espaço pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores da base.
Passo 3
Agora, o que significa linearmente independente? Significa que nenhum vetor da base pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores da base. Isso é importante porque garante que cada vetor da base traz uma “direção nova” que não estava sendo coberta pelos outros vetores.
Passo 4
A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em qualquer base desse espaço. Então, se sabemos que
tem dimensão
, isso significa que qualquer base desse espaço deve ter exatamente
vetores.
Passo 5
Agora, para mostrar que qualquer base de
tem
vetores, vamos usar o seguinte raciocínio:
- Sabemos que
tem dimensão . - Por definição, qualquer base de
tem um número de vetores igual à dimensão do espaço. - Portanto, qualquer base de
deve ter exatamente vetores.
Passo 6
Vamos formalizar isso um pouco mais. Imagine que temos uma base
para
. Como
é uma base, ela é linearmente independente e gera
. Mas, como sabemos que a dimensão de
é
, o número de vetores na base
não pode ser maior ou menor que
, caso contrário, não estaríamos cobrindo todo o espaço ou teríamos vetores redundantes.
Passo 7
Portanto, concluímos que
. Isso significa que qualquer base de
tem exatamente
vetores.
Resposta
Qualquer base de
possui exatamente
vetores.
Exercícios relacionados
Considere os conjuntos
e
(b) Faça um esboço do conjunto T no plano cartesiano \mathbb{R}^{2}.
Dado o subconjunto
de
, faça o que se pede:
a) Mostre que é um subespaço de
;
a) Mostre que
Dado o subconjunto
de
, faça o que se pede:
c) Qual a dimensão de ?
c) Qual a dimensão de
Sejam os vetores
e
em
. Faça o que se pede:
a) Escreva como combinação linear de
e
:
a) Escreva