Considere os conjuntos abaixo. Verifique quais são subconjuntos dos respectivos espaços vetoriais . Considere :
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos dois conjuntos dentro de espaços vetoriais diferentes. Nosso objetivo é verificar se esses conjuntos são subconjuntos (ou subespaços) dos respectivos espaços vetoriais . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente como verificar se um conjunto é um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se ele satisfaz três condições:
1. **Contém o vetor zero**: O vetor zero de está em .
2. **Fechado para adição**: Se e estão em , então também está em .
3. **Fechado para multiplicação escalar**: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos aplicar essas condições para cada par e que foram fornecidos.
Passo 3
**Primeiro Conjunto:**
- Espaço Vetorial:
- Conjunto:
**Verificação:**
1. **Vetor Zero:**
O vetor zero em é . Se , então está em . **OK**.
2. **Fechamento para Adição:**
Se temos dois vetores e em , sua soma é , que também está em . **OK**.
3. **Fechamento para Multiplicação Escalar:**
Se temos em e um escalar , então , que está em . **OK**.
Passo 4
**Segundo Conjunto:**
- Espaço Vetorial:
- Conjunto:
**Verificação:**
1. **Vetor Zero:**
O vetor zero em é . Se , então , então está em . **OK**.
2. **Fechamento para Adição:**
Se temos dois vetores e em , então e . A soma é , e . Portanto, a soma está em . **OK**.
3. **Fechamento para Multiplicação Escalar:**
Se temos em e um escalar , então . Multiplicando por , obtemos , e . Portanto, está em . **OK**.
Resposta
Ambos os conjuntos são subconjuntos (subespaços) dos respectivos espaços vetoriais .