Desenhe os seguintes vetores na posição padrão em :
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar alguns vetores na posição padrão em ℝ³. Isso significa que vamos representar graficamente esses vetores em um espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre coordenadas no espaço e como posicionar nossos vetores com base nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor na posição padrão. Em ℝ³, qualquer vetor pode ser representado por três componentes: uma na direção do eixo x, uma no eixo y e uma no eixo z. A posição padrão significa que o vetor começa na origem do sistema de coordenadas, que é o ponto (0,0,0).

Passo 3

Vamos começar com o vetor . Isso quer dizer que ele não se move na direção x (porque o primeiro número é 0), se move 2 unidades na direção y, e não se move na direção z. Para desenhá-lo, começamos na origem e vamos 2 unidades para cima no eixo y, sem mover nos outros eixos.

Passo 4

Agora, vamos para o vetor . Aqui, o vetor se move 3 unidades na direção x, 2 unidades na direção y e 1 unidade na direção z. Então, partindo da origem, vamos 3 passos para a direita no eixo x, 2 para cima no eixo y e 1 para fora no eixo z. Esse é o ponto onde o vetor termina.

Passo 5

Vamos continuar com o vetor . Esse vetor se move 1 unidade na direção x, -2 unidades na direção y (ou seja, para baixo), e 1 unidade na direção z. Então, a partir da origem, vamos 1 para a direita no eixo x, 2 para baixo no eixo y e 1 para fora no eixo z para encontrar a ponta do vetor.

Passo 6

Por último, temos o vetor . Esse é um vetor que se move -1 unidade no eixo x (para a esquerda), -1 unidade no eixo y (para baixo) e -2 unidades no eixo z (para dentro). Assim, partimos da origem e vamos 1 unidade para a esquerda, 1 para baixo e 2 para dentro do espaço z para desenhar esse vetor.

Resposta

Pronto! Agora você sabe como desenhar cada um dos vetores na posição padrão em ℝ³:
  • se move 2 unidades no eixo y.
  • se move 3 no x, 2 no y e 1 no z.
  • se move 1 no x, 2 para baixo no y e 1 no z.
  • se move 1 para a esquerda no x, 1 para baixo no y e 2 para dentro no z.
Agora é só plotar esses movimentos no sistema de coordenadas tridimensional!

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  • .
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b) Mostre que e são subespaços de .