Seja T: V longrightarrow W uma transformação linear. Mostre que se U é um subespaço vetorial de V então T(U) é um subespaço vetorial de W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. A gente quer mostrar que, se é um subespaço de e temos uma transformação linear , então a imagem de pela transformação , que é , também é um subespaço de . Para resolver isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial e como as transformações lineares se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. É fechado sob adição: Se , então .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Essas três propriedades garantem que mantém a estrutura de espaço vetorial dentro de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Preservação da adição: .
  2. Preservação da multiplicação por escalar: .
Essas propriedades vão nos ajudar a mostrar que também satisfaz as condições para ser um subespaço de .

Passo 4

Vamos começar verificando a primeira condição para T(0V) = 0W ser um subespaço: contém o vetor zero.
Sabemos que é um subespaço de , então . Aplicando a transformação linear ao vetor zero de :
Aqui, usamos a propriedade que uma transformação linear sempre manda o vetor zero para o vetor zero do espaço de chegada . Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: fechado sob adição.
Sejam a = T(u) e b = T(v) . Isso significa que existem a + b = T(u) + T(v) = T(u + v) (pela linearidade de T) tais que:
Queremos mostrar que . Vamos somar e :
Como é um subespaço, . Portanto, está em .

Passo 6

Por fim, vamos verificar a terceira condição: fechado sob multiplicação por escalar.
Sejam a = T(u) e ca = cT(u) = T(cu) (pela linearidade de T) um escalar. Então, existe tal que:
Queremos mostrar que . Vamos multiplicar por :
Como é um subespaço, . Portanto, está em .

Resposta

Conseguimos mostrar que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim, é de fato um subespaço vetorial de .

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