Seja uma transformação linear. Mostre que se é um subespaço vetorial de então é um subespaço vetorial de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. A gente quer mostrar que, se é um subespaço de e temos uma transformação linear , então a imagem de pela transformação , que é , também é um subespaço de . Para resolver isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial e como as transformações lineares se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. Contém o vetor zero: .
  2. É fechado sob adição: Se , então .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se e é um escalar, então .
Essas três propriedades garantem que mantém a estrutura de espaço vetorial dentro de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores e escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. Preservação da adição: .
  2. Preservação da multiplicação por escalar: .
Essas propriedades vão nos ajudar a mostrar que também satisfaz as condições para ser um subespaço de .

Passo 4

Vamos começar verificando a primeira condição para ser um subespaço: contém o vetor zero.
Sabemos que é um subespaço de , então . Aplicando a transformação linear ao vetor zero de :
Aqui, usamos a propriedade que uma transformação linear sempre manda o vetor zero para o vetor zero do espaço de chegada . Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: fechado sob adição.
Sejam . Isso significa que existem tais que:
Queremos mostrar que . Vamos somar e :
Como é um subespaço, . Portanto, está em .

Passo 6

Por fim, vamos verificar a terceira condição: fechado sob multiplicação por escalar.
Sejam e um escalar. Então, existe tal que:
Queremos mostrar que . Vamos multiplicar por :
Como é um subespaço, . Portanto, está em .

Resposta

Conseguimos mostrar que contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim, é de fato um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Considere os conjuntos de vetores e , onde
Mostre que os conjuntos e geram o mesmo subespaço vetorial de . Ou seja, demonstre que
Encontre uma base para a imagem das transformações lineares abaixo:
dada por .
Seja , o espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes reais. Determine se é um subespaço de nos seguintes casos:
(a) é o conjunto de todos os polinômios com coeficientes inteiros.
(b) é o conjunto de todos os polinômios de grau 6 e o polinômio nulo.
© é o conjunto de todos os polinômios que possuem apenas potências pares de .