Seja
uma transformação linear. Mostre que se
é um subespaço vetorial de
então
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de álgebra linear, mais especificamente sobre transformações lineares e subespaços vetoriais. A gente quer mostrar que, se
é um subespaço de
e temos uma transformação linear
, então a imagem de
pela transformação
, que é
, também é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos lembrar o que define um subespaço vetorial e como as transformações lineares se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de
se:
- Contém o vetor zero:
. - É fechado sob adição: Se
, então . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
e é um escalar, então .
Essas três propriedades garantem que
mantém a estrutura de espaço vetorial dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
- Preservação da adição:
. - Preservação da multiplicação por escalar:
.
Essas propriedades vão nos ajudar a mostrar que
também satisfaz as condições para ser um subespaço de
.
Passo 4
Vamos começar verificando a primeira condição para
ser um subespaço: contém o vetor zero.
Sabemos que
é um subespaço de
, então
. Aplicando a transformação linear
ao vetor zero de
:
Aqui, usamos a propriedade que uma transformação linear sempre manda o vetor zero para o vetor zero do espaço de chegada
. Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição: fechado sob adição.
Sejam
. Isso significa que existem
tais que:
Queremos mostrar que
. Vamos somar
e
:
Como
é um subespaço,
. Portanto,
está em
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar a terceira condição: fechado sob multiplicação por escalar.
Sejam
e
um escalar. Então, existe
tal que:
Queremos mostrar que
. Vamos multiplicar
por
:
Como
é um subespaço,
. Portanto,
está em
.
Resposta
Conseguimos mostrar que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Assim,
é de fato um subespaço vetorial de
.