Considere as funções
, e
definidas de
em
. Mostre que o conjunto
é linearmente independente, ou seja, prove que não existem escalares
, não todos iguais a zero, tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto de funções
é linearmente independente. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de independência linear de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa combinações lineares e como provar que nenhuma combinação não trivial dessas funções resulta na função zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Dizemos que as funções
são linearmente independentes se a única solução para a equação
para todo
é
.
No nosso caso, isso significa que queremos provar que a única maneira de
para todo
é se
forem todos zero.
Passo 3
Vamos começar assumindo que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
Nosso objetivo é mostrar que isso só é possível se
.
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos escolher alguns valores específicos de
para simplificar a equação e encontrar relações entre
e
.
Primeiro, vamos escolher
:
Agora sabemos que
.
Passo 5
Com
, nossa equação original fica:
Agora, vamos escolher outro valor de
para nos ajudar a encontrar
e
. Vamos escolher
:
Agora sabemos que
.
Passo 6
Com
e
, nossa equação original simplifica para:
A única maneira dessa equação ser verdadeira para todo
é se
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é a única solução possível, o que prova que o conjunto
é linearmente independente.