Considere as funções f(x)=sin x, g(x)=cos x, e h(x)=x definidas de R em R. Mostre que o conjunto S=f(x), g(x), h(x) é linearmente independente, ou seja, prove que não existem escalares a, b, c in R, não todos iguais a zero, tais que
a f(x)+b g(x)+ch(x)=0, para todo t in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o conjunto de funções é linearmente independente. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de independência linear de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa combinações lineares e como provar que nenhuma combinação não trivial dessas funções resulta na função zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Dizemos que as funções são linearmente independentes se a única solução para a equação para todo é .
No nosso caso, isso significa que queremos provar que a única maneira de para todo é se forem todos zero.

Passo 3

Vamos começar assumindo que existe uma combinação linear dessas funções que resulta na função zero:
a sin x + b cos x + c x = 0 para todo x in R
Nosso objetivo é mostrar que isso só é possível se .

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos escolher alguns valores específicos de a sin 0 + b cos 0 + c cdot 0 = 0 0 + b cdot 1 + 0 = 0 b = 0 para simplificar a equação e encontrar relações entre e .
Primeiro, vamos escolher :
Agora sabemos que .

Passo 5

Com a sin x + c x = 0 para todo x in R , nossa equação original fica:
a sin pi + c cdot pi = 0 0 + c pi = 0 c = 0
Agora, vamos escolher outro valor de para nos ajudar a encontrar e . Vamos escolher :
Agora sabemos que .

Passo 6

Com a sin x = 0 para todo x in R e , nossa equação original simplifica para:
A única maneira dessa equação ser verdadeira para todo é se .

Resposta

Portanto, mostramos que é a única solução possível, o que prova que o conjunto é linearmente independente.

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