Considere um contêiner esférico de raio interno r1=8 cm, raio externo r2=10 cm e condutividade térmica k=45 W / m K. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes T1=200^circ C e T2=80^circ C, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor. Resp:
& q=27100 W & T(r)=r1 r2r(r2-r1)(T1-T2)+r2 T2-r1 T1r2-r1

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um contêiner esférico com um raio interno de e um raio externo de . A condutividade térmica do material é . As superfícies interna e externa estão mantidas a temperaturas constantes de e , respectivamente. Queremos encontrar a distribuição de temperatura no interior da casca em estado estacionário e determinar a taxa de perda de calor. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor para coordenadas esféricas em estado estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor em coordenadas esféricas para estado estacionário, sem geração interna de calor:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Isso simplifica para:
ddr ( r^2 dTdr ) = 0

Passo 3

Integrando a equação acima, temos:
r^2 dTdr = C1
Onde é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, isolamos dTdr = C1r^2 :
T(r) = -C1r + C2
Integrando novamente em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 5

Para encontrar as constantes T1 = -C1r1 + C2 e T2 = -C1r2 + C2 , usamos as condições de contorno:
  1. Em , :
  1. Em , :

Passo 6

Subtraindo a segunda equação da primeira:
T1 - T2 = -C1r1 + C1r2
T1 - T2 = C1 ( 1r2 - 1r1 )
C1 = T1 - T21r2 - 1r1 = (T1 - T2) r1 r2r1 - r2

Passo 7

Agora, substituímos T(r) = -(T1 - T2) r1 r2(r1 - r2) r + C2 na equação para C2 = T1 + C1r1 = T1 + (T1 - T2) r2r1 - r2 :
Usando a condição de contorno para encontrar :

Passo 8

Simplificando a expressão para T(r) = r1 r2r (r2 - r1) (T1 - T2) + r2 T2 - r1 T1r2 - r1 :

Passo 9

Agora, para encontrar a taxa de perda de calor q = -k A dTdr , usamos a lei de Fourier para condução de calor em coordenadas esféricas:
dTdr = -r1 r2 (T1 - T2)r^2 (r2 - r1)
Onde q = -k cdot 4 pi r1^2 cdot ( -r1 r2 (T1 - T2)r1^2 (r2 - r1) ) = 4 pi k r1 r2 (T1 - T2)r2 - r1 é a área superficial na direção do fluxo de calor.
Como está em estado estacionário e esférico, a taxa de calor será constante e podemos usar qualquer uma das duas superfícies para calcular .
Calculando :
Usando na superfície interna:

Resposta

q = 27100 , W
T(r) = r1 r2r (r2 - r1) (T1 - T2) + r2 T2 - r1 T1r2 - r1

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