Considere um contêiner esférico de raio interno
, raio externo
condutividade térmica
. As superfícies interna e externa do contêiner são mantidas a temperaturas constantes
e
, respectivamente, como resultado de algumas reações químicas que ocorrem em seu interior. Obtenha a relação geral para a distribuição de temperatura no interior da casca sob estado estacionário e determine a taxa de perda de calor. Resp:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um contêiner esférico com um raio interno de
e um raio externo de
. A condutividade térmica do material é
. As superfícies interna e externa estão mantidas a temperaturas constantes de
e
, respectivamente. Queremos encontrar a distribuição de temperatura no interior da casca em estado estacionário e determinar a taxa de perda de calor. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de condução de calor para coordenadas esféricas em estado estacionário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação da condução de calor em coordenadas esféricas para estado estacionário, sem geração interna de calor:
Isso simplifica para:
Passo 3
Integrando a equação acima, temos:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, isolamos
:
Integrando novamente em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 5
Para encontrar as constantes
e
, usamos as condições de contorno:
- Em
, :
- Em
, :
Passo 6
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação para
:
Usando a condição de contorno para encontrar
:
Passo 8
Simplificando a expressão para
:
Passo 9
Agora, para encontrar a taxa de perda de calor
, usamos a lei de Fourier para condução de calor em coordenadas esféricas:
Onde
é a área superficial na direção do fluxo de calor.
Como está em estado estacionário e esférico, a taxa de calor será constante e podemos usar qualquer uma das duas superfícies para calcular
.
Calculando
:
Usando
na superfície interna: