Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura , área da base e condutividade térmica K. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede . Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
b) Obtenha a relação para a variação de temperatura na placa da base de ferro resolvendo a equação diferencial;
c) Avalie a temperatura da superfície interna.

Resp:

a)
b)
c)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma placa de ferro de passar com potência de 1200 W, espessura cm, área da base cm² e condutividade térmica . A superfície externa da placa está a e queremos analisar como o calor está se conduzindo através da placa. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de condução de calor unidimensional permanente, que envolvem a equação diferencial da condução de calor e as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Parte a: Expressar a equação diferencial e as condições de contorno
Na condução de calor unidimensional permanente, a equação diferencial que descreve a temperatura ao longo da espessura da placa é dada por:
Isso ocorre porque, em regime permanente, a taxa de variação da temperatura não muda com o tempo.
As condições de contorno são:
  1. Na superfície externa da placa ( ), a temperatura é conhecida:
  2. Na superfície interna da placa ( ), o fluxo de calor gerado pela resistência do ferro é uniforme. A relação entre o fluxo de calor e a temperatura é dada por: Onde é a potência e .

Passo 3

Parte b: Obter a relação para a variação de temperatura na placa
Vamos resolver a equação diferencial:
Integrando uma vez em relação a :
Integrando novamente:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Primeiro, na superfície externa ( ):
Segundo, na superfície interna ( ), usando o fluxo de calor:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na equação da temperatura:
Portanto, a relação para a variação de temperatura na placa é:

Passo 4

Parte c: Avaliar a temperatura da superfície interna
A superfície interna corresponde a . Substituindo na equação da temperatura:

Resposta

A temperatura da superfície interna da placa é .

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a) A taxa de perda de calor através do telhado naquela noite.
b) O custo dessa perda de calor para o proprietário durante 1 mês, considerando que o custo da eletricidade é de .

Resp:

a) 1920 W
b)
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