Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura L=0,6 cm, área da base A=160 cm^2 e condutividade térmica k=60 W / m K. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede 112 ^circ C. Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
b) Obtenha a relação para a variação de temperatura na placa da base de ferro resolvendo a equação diferencial;
c) Avalie a temperatura da superfície interna.

Resp:

a) d^2 Td x^2=0
b) T(x)=1250(0,006-x)( ^circ C / m)+112^circ C
c) T1=119,5^circ C

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma placa de ferro de passar com potência de 1200 W, espessura cm, área da base cm² e condutividade térmica . A superfície externa da placa está a e queremos analisar como o calor está se conduzindo através da placa. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de condução de calor unidimensional permanente, que envolvem a equação diferencial da condução de calor e as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Parte a: Expressar a equação diferencial e as condições de contorno
Na condução de calor unidimensional permanente, a equação diferencial que descreve a temperatura d^2 Tdx^2 = 0 ao longo da espessura da placa é dada por:
T(L) = 112^circ C
Isso ocorre porque, em regime permanente, a taxa de variação da temperatura não muda com o tempo.
As condições de contorno são:
  1. Na superfície externa da placa ( -k dTdxg|x=0 = PA ), a temperatura é conhecida:
  2. Na superfície interna da placa ( ), o fluxo de calor gerado pela resistência do ferro é uniforme. A relação entre o fluxo de calor e a temperatura é dada por: Onde é a potência e .

Passo 3

Parte b: Obter a relação para a variação de temperatura na placa
Vamos resolver a equação diferencial:
d^2 Tdx^2 = 0
Integrando uma vez em relação a dTdx = C1 :
T(x) = C1 x + C2
Integrando novamente:
T(0,006) = C1 cdot 0,006 + C2 = 112
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes -k dTdxg|x=0 = PA Rightarrow -k C1 = 12000,016 = 75000 , W/m^2 e C1 = -7500060 = -1250 , K/m .
Primeiro, na superfície externa ( 112 = (-1250) cdot 0,006 + C2 Rightarrow C2 = 112 + 7,5 = 119,5 , ^circC ):
T(x) = -1250 x + 119,5
Segundo, na superfície interna ( ), usando o fluxo de calor:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na equação da temperatura:
Portanto, a relação para a variação de temperatura na placa é:

Passo 4

Parte c: Avaliar a temperatura da superfície interna
A superfície interna corresponde a T(0) = -1250 cdot 0 + 119,5 = 119,5^circ C . Substituindo na equação da temperatura:

Resposta

A temperatura da superfície interna da placa é .

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