Considere a placa da base de um ferro de passar de 1200 W , espessura , área da base e condutividade térmica K. a superfície interna da placa está sujeita a um fluxo de calor uniforme gerado pela resistência do ferro. Quando alcança condições de operação permanentes, a temperatura da superfície externa da placa mede . Desconsiderando qualquer perda de calor através da seção superior do ferro:
a) Expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor unidimensional permanente através da placa.
b) Obtenha a relação para a variação de temperatura na placa da base de ferro resolvendo a equação diferencial;
c) Avalie a temperatura da superfície interna.
Resp:
a)
b)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma placa de ferro de passar com potência de 1200 W, espessura cm, área da base cm² e condutividade térmica . A superfície externa da placa está a e queremos analisar como o calor está se conduzindo através da placa. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de condução de calor unidimensional permanente, que envolvem a equação diferencial da condução de calor e as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Parte a: Expressar a equação diferencial e as condições de contorno
Na condução de calor unidimensional permanente, a equação diferencial que descreve a temperatura ao longo da espessura da placa é dada por:
Isso ocorre porque, em regime permanente, a taxa de variação da temperatura não muda com o tempo.
As condições de contorno são:
Na superfície externa da placa (), a temperatura é conhecida:
Na superfície interna da placa (), o fluxo de calor gerado pela resistência do ferro é uniforme. A relação entre o fluxo de calor e a temperatura é dada por:Onde é a potência e .
Passo 3
Parte b: Obter a relação para a variação de temperatura na placa
Vamos resolver a equação diferencial:
Integrando uma vez em relação a :
Integrando novamente:
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar as constantes e .
Primeiro, na superfície externa ():
Segundo, na superfície interna (), usando o fluxo de calor:
Resolvendo para :
Agora, substituímos na equação da temperatura:
Portanto, a relação para a variação de temperatura na placa é:
Passo 4
Parte c: Avaliar a temperatura da superfície interna
A superfície interna corresponde a . Substituindo na equação da temperatura: