Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
Determine a função que descreve a posição da corda, em cada ponto, em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma corda de comprimento 5, fixada nas duas pontas, e queremos descobrir como ela se move com o tempo. A equação que descreve esse movimento é uma equação diferencial parcial:
Além disso, sabemos que inicialmente a corda está parada (deslocamento nulo) e que a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier e solução de equações diferenciais para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos. A equação diferencial:
é do tipo equação de difusão, que descreve como algo (no caso, o deslocamento da corda) se espalha no espaço ao longo do tempo. Aqui,
é a segunda derivada espacial de
e
é a derivada temporal.
Passo 3
Como a corda está fixa nas extremidades (
e
), as condições de contorno são:
Além disso, a condição inicial de deslocamento é:
e a condição inicial de velocidade é:
Passo 4
Vamos assumir que a solução pode ser expressa como um produto de funções que dependem apenas de
e apenas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora temos duas equações ordinárias:
-
Para
: -
Para
:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 6
Começando por
, a equação é:
Isso é parecido com a equação de um oscilador harmônico. As soluções são funções trigonométricas:
onde
é um número inteiro positivo.
Passo 7
As frequências naturais
associadas a cada modo
são:
Passo 8
Agora, para a parte temporal
, resolvemos:
A solução geral dessa equação é:
onde
é uma constante determinada pelas condições iniciais.
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é uma soma de todos os modos possíveis:
Passo 10
Aplicando a condição inicial de deslocamento
:
Isso implica que todos os constantes
são zero, mas como temos uma condição inicial de velocidade diferente de zero, vamos focar nela.
Passo 11
Usando a condição inicial de velocidade
, derivamos a solução geral em relação ao tempo:
Ao avaliar em
:
Passo 12
Para que essa igualdade seja válida, precisamos que somente um termo da soma contribua, ou seja, que
corresponda a um dos modos naturais da corda. Observando os modos:
Então, apenas o modo
contribui.
Passo 13
Assim, temos:
Portanto:
Com
:
Logo:
Passo 14
Finalmente, a solução para
fica:
Resposta
A posição da corda em cada ponto, em função do tempo, é dada por: