Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
4 u_xx(x, t) = u_t(x, t)
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
u_t(x, 0) = -sen(3 pi x)
Determine a função que descreve a posição da corda, em cada ponto, em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma corda de comprimento 5, fixada nas duas pontas, e queremos descobrir como ela se move com o tempo. A equação que descreve esse movimento é uma equação diferencial parcial:
Além disso, sabemos que inicialmente a corda está parada (deslocamento nulo) e que a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada por:
Vamos precisar usar conceitos de séries de Fourier e solução de equações diferenciais para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos. A equação diferencial:
é do tipo equação de difusão, que descreve como algo (no caso, o deslocamento da corda) se espalha no espaço ao longo do tempo. Aqui, é a segunda derivada espacial de u e é a derivada temporal.

Passo 3

Como a corda está fixa nas extremidades ( x = 0 e x = 5), as condições de contorno são:
Além disso, a condição inicial de deslocamento é:
e a condição inicial de velocidade é:

Passo 4

Vamos assumir que a solução pode ser expressa como um produto de funções que dependem apenas de x e apenas de t:
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, lambda é uma constante de separação.

Passo 5

Agora temos duas equações ordinárias:
  1. Para :
  2. Para T(t):
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 6

Começando por , a equação é:
Isso é parecido com a equação de um oscilador harmônico. As soluções são funções trigonométricas:
onde n é um número inteiro positivo.

Passo 7

As frequências naturais associadas a cada modo n são:

Passo 8

Agora, para a parte temporal T(t), resolvemos:
A solução geral dessa equação é:
onde é uma constante determinada pelas condições iniciais.

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é uma soma de todos os modos possíveis:

Passo 10

Aplicando a condição inicial de deslocamento :
Isso implica que todos os constantes são zero, mas como temos uma condição inicial de velocidade diferente de zero, vamos focar nela.

Passo 11

Usando a condição inicial de velocidade , derivamos a solução geral em relação ao tempo:
Ao avaliar em t = 0:

Passo 12

Para que essa igualdade seja válida, precisamos que somente um termo da soma contribua, ou seja, que corresponda a um dos modos naturais da corda. Observando os modos:
Então, apenas o modo contribui.

Passo 13

Assim, temos:
Portanto:
Com :
Logo:

Passo 14

Finalmente, a solução para u(x, t) fica:

Resposta

A posição da corda em cada ponto, em função do tempo, é dada por:

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