Resolva os problemas do calor abaixo:

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver a equação do calor dada por:
Além disso, temos as seguintes condições:
  • Condição Inicial:
  • Condições de Contorno:
Vamos precisar entender os conceitos básicos das equações diferenciais parciais, especialmente a equação do calor, e como aplicar condições iniciais e de contorno para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, observamos a condição inicial: . Isso indica que, no instante inicial ( ), a temperatura é constante em toda a barra, ou seja, é igual a 10 para todo entre 0 e 1.

Passo 3

Vamos verificar se essa função constante satisfaz a equação do calor.
Calculando as derivadas necessárias:
  • Derivada temporal:
  • Derivada espacial segunda:
Substituindo na equação do calor:
Isso resulta em , o que é verdade. Portanto, é uma solução estacionária da equação do calor que satisfaz todas as condições dadas.

Resposta

Exercícios relacionados

Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda
Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento , que obedece à equação . Considere que a posição inicial da corda é dada por e que a velocidade inicial da corda em cada ponto é dada por . Encontre o deslocamento vertical dessa corda no ponto e no instante de tempo .
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor
Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
Determine a função que descreve a posição da corda, em cada ponto, em função do tempo.