Resolva os problemas do calor abaixo:
100 * u_xx(x, t) = u_t(x, t), 0 < x < 1, t > 0; u(x, 0) = 10, 0 < x < 1; u_x(0, t) = u_x(1, t) = 0, t > 0

Passo 1

Neste exercício, vamos resolver a equação do calor dada por:
Além disso, temos as seguintes condições:
  • Condição Inicial:
  • Condições de Contorno:
Vamos precisar entender os conceitos básicos das equações diferenciais parciais, especialmente a equação do calor, e como aplicar condições iniciais e de contorno para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, observamos a condição inicial: . Isso indica que, no instante inicial ( ), a temperatura é constante em toda a barra, ou seja, u(x, t) é igual a 10 para todo x entre 0 e 1.

Passo 3

Vamos verificar se essa função constante satisfaz a equação do calor.
Calculando as derivadas necessárias:
  • Derivada temporal:
  • Derivada espacial segunda:
Substituindo na equação do calor:
Isso resulta em , o que é verdade. Portanto, é uma solução estacionária da equação do calor que satisfaz todas as condições dadas.

Resposta

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