Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas: , equação do calor
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu! A gente tem a função e queremos verificar se ela é uma solução da equação do calor. A equação do calor é uma equação diferencial que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo em um meio. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação ao tempo () e ao espaço ().
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo (), que é a parte esquerda da equação do calor:
Como é uma constante em relação ao tempo, podemos trazer pra fora da derivada:
A derivada de em relação a é:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação ao espaço (), que é a parte direita da equação do calor multiplicada por :
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Passo 4
Multiplicamos a segunda derivada por para obter o lado direito da equação do calor:
Passo 5
Agora, comparamos as duas expressões que encontramos:
Derivada em relação ao tempo:
vezes a segunda derivada em relação ao espaço:
Vemos que as duas expressões são iguais.
Resposta
Como , a função é realmente uma solução da equação do calor.