Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você pediu! A gente tem a função e queremos verificar se ela é uma solução da equação do calor. A equação do calor é uma equação diferencial que descreve como o calor se distribui ao longo do tempo em um meio. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação ao tempo ( ) e ao espaço ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo ( ), que é a parte esquerda da equação do calor:
Como é uma constante em relação ao tempo, podemos trazer pra fora da derivada:
A derivada de em relação a é:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação ao espaço ( ), que é a parte direita da equação do calor multiplicada por :
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:

Passo 4

Multiplicamos a segunda derivada por para obter o lado direito da equação do calor:

Passo 5

Agora, comparamos as duas expressões que encontramos:
  • Derivada em relação ao tempo:
  • vezes a segunda derivada em relação ao espaço:
Vemos que as duas expressões são iguais.

Resposta

Como , a função é realmente uma solução da equação do calor.

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Resolva os problemas do calor abaixo:
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda
Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
Determine a função que descreve a posição da corda, em cada ponto, em função do tempo.
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor