Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é pra verificar se a função
é uma solução da equação do calor. A equação do calor é uma equação diferencial que descreve como o calor se distribui em um meio ao longo do tempo. Pra resolver isso, a gente vai precisar calcular algumas derivadas parciais da função e ver se elas se encaixam na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor. Ela é dada por:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação ao tempo
, e
é a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
. O que a gente precisa fazer é calcular
e
para a função dada e ver se essa igualdade é verdadeira.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
, ou seja,
.
A derivada de
em relação a
é:
Como
não depende de
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação ao espaço
, ou seja,
.
Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Agora, a segunda derivada:
Então, temos:
Passo 5
Vamos substituir
e
na equação do calor para ver se a igualdade se mantém.
A equação do calor é:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que não seja zero):
Isso não faz sentido, o que significa que houve um erro na substituição. Vamos revisar os cálculos.
Correção:
Na segunda derivada
, o sinal está invertido. O correto é:
Portanto, substituindo novamente na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Ainda assim, a igualdade não é verdadeira, indicando que a função não é uma solução da equação do calor.
Resposta
A função
não é uma solução válida da equação do calor.
Exercícios relacionados
Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
Determine a função que descreve a posição da corda, em cada ponto, em função do tempo.
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor
Prove que: O produto de um número par por qualquer número inteiro é um número par;
Demonstrar: Se
é um inteiro ímpar, então
. [sugestão: escreva