Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é pra verificar se a função é uma solução da equação do calor. A equação do calor é uma equação diferencial que descreve como o calor se distribui em um meio ao longo do tempo. Pra resolver isso, a gente vai precisar calcular algumas derivadas parciais da função e ver se elas se encaixam na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação do calor. Ela é dada por:
Aqui, é a derivada parcial de em relação ao tempo , e é a segunda derivada parcial de em relação ao espaço . O que a gente precisa fazer é calcular e para a função dada e ver se essa igualdade é verdadeira.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação ao tempo , ou seja, .
A derivada de em relação a é:
Como não depende de , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação ao espaço , ou seja, .
Primeiro, a primeira derivada de em relação a :
Agora, a segunda derivada:
Então, temos:

Passo 5

Vamos substituir e na equação do calor para ver se a igualdade se mantém.
A equação do calor é:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que não seja zero):
Isso não faz sentido, o que significa que houve um erro na substituição. Vamos revisar os cálculos.
Correção:
Na segunda derivada , o sinal está invertido. O correto é:
Portanto, substituindo novamente na equação:
Dividindo ambos os lados por :
Ainda assim, a igualdade não é verdadeira, indicando que a função não é uma solução da equação do calor.

Resposta

A função não é uma solução válida da equação do calor.

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Considere uma corda de comprimento igual a 5, fixa nas duas extremidades. A seguinte equação diferencial descreve o movimento oscilatório que ocorre na corda:
A corda encontra-se inicialmente com deslocamento nulo em toda sua extensão e a velocidade inicial de cada ponto da corda é dada pela expressão:
Determine a função que descreve a posição da corda, em cada ponto, em função do tempo.
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor
Prove que: O produto de um número par por qualquer número inteiro é um número par;
Demonstrar: Se é um inteiro ímpar, então . [sugestão: escreva