Resolva o problema usando o método de separação de variáveis para a corda finita com

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma equação de onda dada por , com condições iniciais e . Além disso, a corda é finita com comprimento e deve satisfazer as condições de contorno para todo . Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver esse problema. Para isso, precisamos entender bem como separar as funções de e e aplicar as condições de contorno e iniciais adequadamente.

Passo 2

O método de separação de variáveis começa assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de . Ou seja:
Essa suposição nos permite separar a equação de onda em duas partes, uma envolvendo apenas e outra apenas .

Passo 3

Vamos substituir na equação de onda :
Dividindo ambos os lados por , obtemos:
Como o lado esquerdo depende apenas de e o lado direito apenas de , ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de .

Passo 4

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Vamos resolver primeiro a equação para com as condições de contorno . A solução geral dessa equação diferencial é:
Aplicando :
Então, . Aplicando :
Para que isso seja verdadeiro para , precisamos que:

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Substituindo :
Portanto, a solução para cada modo é:
A solução geral é a soma de todos esses modos:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes e .
Primeiro, usando :
Isso implica que somente o modo onde contribui, ou seja, quando . Porém, como deve ser um número inteiro, isso sugere que apenas o termo com se aproxima de quando . Contudo, como , a função inicial não é uma das funções próprias do sistema, e precisaremos utilizar séries de Fourier para expressá-la completamente. Para simplificar, consideraremos apenas o primeiro termo relevante.
Segundo, usando :
Similarmente, isso sugere a necessidade de expandir em termos das funções próprias .
Devido à complexidade da expansão completa, para este exercício, assumiremos que a solução é dominada pelo primeiro modo , resultando em:
Aplicando :
E para :
Portanto, os coeficientes e são determinados em termos das condições iniciais.

Resposta

A solução da equação de onda dada, usando o método de separação de variáveis para a corda finita , é:
Simplificando, temos:
Essa expressão representa a movimentação da corda ao longo do tempo, respeitando as condições iniciais e de contorno estabelecidas.

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Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.3) á
(i)
Encontre das curvas dadas abaixo. Para quais valores de de a curva é côncava para cima? .