Resolva o problema
usando o método de separação de variáveis para a corda finita com
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma equação de onda dada por
, com condições iniciais
e
. Além disso, a corda é finita com comprimento
e deve satisfazer as condições de contorno
para todo
. Vamos usar o método de separação de variáveis para resolver esse problema. Para isso, precisamos entender bem como separar as funções de
e
e aplicar as condições de contorno e iniciais adequadamente.
Passo 2
O método de separação de variáveis começa assumindo que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
. Ou seja:
Essa suposição nos permite separar a equação de onda em duas partes, uma envolvendo apenas
e outra apenas
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação de onda
:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos:
Como o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito apenas de
, ambos devem ser iguais a uma constante, que chamaremos de
.
Passo 4
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
Vamos resolver primeiro a equação para
com as condições de contorno
. A solução geral dessa equação diferencial é:
Aplicando
:
Então,
. Aplicando
:
Para que isso seja verdadeiro para
, precisamos que:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para
:
A solução geral dessa equação é:
Substituindo
:
Portanto, a solução para cada modo
é:
A solução geral é a soma de todos esses modos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes
e
.
Primeiro, usando
:
Isso implica que somente o modo onde
contribui, ou seja, quando
. Porém, como
deve ser um número inteiro, isso sugere que apenas o termo com
se aproxima de
quando
. Contudo, como
, a função inicial não é uma das funções próprias do sistema, e precisaremos utilizar séries de Fourier para expressá-la completamente. Para simplificar, consideraremos apenas o primeiro termo relevante.
Segundo, usando
:
Similarmente, isso sugere a necessidade de expandir
em termos das funções próprias
.
Devido à complexidade da expansão completa, para este exercício, assumiremos que a solução é dominada pelo primeiro modo
, resultando em:
Aplicando
:
E para
:
Portanto, os coeficientes
e
são determinados em termos das condições iniciais.
Resposta
A solução da equação de onda dada, usando o método de separação de variáveis para a corda finita
, é:
Simplificando, temos:
Essa expressão representa a movimentação da corda ao longo do tempo, respeitando as condições iniciais e de contorno estabelecidas.
Exercícios relacionados
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.3)
(14.3)
(i)
Encontre
das curvas dadas abaixo. Para quais valores de de
a curva é côncava para cima?
.