Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.4)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento com as extremidades fixas. Inicialmente, a corda está em repouso (posição de equilíbrio), mas depois é puxada com uma velocidade inicial dada por , onde . Nosso objetivo é usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução para o movimento da corda ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação que governa o movimento de uma corda vibrante é a equação da onda:
Aqui, é o deslocamento da corda em posição e tempo , e é a velocidade da onda na corda.

Passo 3

Como as extremidades estão fixas, temos as condições de contorno:
Além disso, a condição inicial de deslocamento é zero:
E a condição inicial de velocidade é dada por:

Passo 4

Vamos aplicar o método de separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como produto de uma função apenas de e outra apenas de :
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante que separa as variáveis.

Passo 5

Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
  1. Para :
Com as condições de contorno e .
  1. Para :

Passo 6

Resolvendo para , as soluções não triviais ocorrem quando para . Portanto, as soluções para são:
E as soluções para são:

Passo 7

A solução geral é uma soma de todas as soluções individuais:

Passo 8

Aplicando as condições iniciais para determinar os coeficientes e :
  1. implica que para todos os .
  2. implica:
Para encontrar , usamos a série de Fourier seno:

Passo 9

Calculando a integral para :
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais, resultando nos coeficientes .

Passo 10

Finalmente, substituímos os coeficientes na solução geral:

Resposta

A solução para o movimento da corda é dada por:

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