Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.4)
(14.4)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento
com as extremidades fixas. Inicialmente, a corda está em repouso (posição de equilíbrio), mas depois é puxada com uma velocidade inicial dada por
, onde
. Nosso objetivo é usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução para o movimento da corda ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação que governa o movimento de uma corda vibrante é a equação da onda:
Aqui,
é o deslocamento da corda em posição
e tempo
, e
é a velocidade da onda na corda.
Passo 3
Como as extremidades estão fixas, temos as condições de contorno:
Além disso, a condição inicial de deslocamento é zero:
E a condição inicial de velocidade é dada por:
Passo 4
Vamos aplicar o método de separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como produto de uma função apenas de
e outra apenas de
:
Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante que separa as variáveis.
Passo 5
Agora, temos duas equações diferenciais ordinárias:
- Para
:
Com as condições de contorno
e
.
- Para
:
Passo 6
Resolvendo para
, as soluções não triviais ocorrem quando
para
. Portanto, as soluções para
são:
E as soluções para
são:
Passo 7
A solução geral é uma soma de todas as soluções individuais:
Passo 8
Aplicando as condições iniciais para determinar os coeficientes
e
:
-
implica que para todos os . -
implica:
Para encontrar
, usamos a série de Fourier seno:
Passo 9
Calculando a integral para
:
Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais, resultando nos coeficientes
.
Passo 10
Finalmente, substituímos os coeficientes
na solução geral:
Resposta
A solução para o movimento da corda é dada por:
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, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Resolva as Equações Diferenciais e PVI propostos, por variáveis separáveis:
Mostre que a solução de
é dada por
A velocidade de descida de um pára-quedas é dada por
, onde
e
. Encontre a função velocidade considerando
.