Mostre que a solução de u_tt = u_xx, u(x, 0) = x^2 e u_t(x, 0) = 4 x^3 é dada por
u(x, t) = 1/2 * [(x+t)^2 + (x-t)^2 + (x+t)^4 + (x-t)^4]

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para resolver uma equação diferencial parcial, especificamente a equação da onda: . Essa equação descreve como ondas, como as do som ou da luz, se propagam no espaço e no tempo. Para resolver isso, precisamos usar métodos de resolução de equações diferenciais parciais e aplicar as condições iniciais dadas: e . Vamos descobrir como encontrar a solução passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da solução geral da equação da onda em uma dimensão. A solução pode ser escrita como a soma de duas funções: uma que se move para a direita e outra que se move para a esquerda. Matematicamente, isso é:
Aqui, e são funções que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Começamos com :
E a derivada em relação ao tempo:
Essas duas equações vão nos ajudar a encontrar e .

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações para e . Somando as duas equações:
Isso simplifica para:
Mas para simplificar ainda mais, vamos resolver as equações individualmente.

Passo 5

Primeiro, somamos e subtraímos as equações para isolar e :
Somando:
Subtraindo:
Agora, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituindo na segunda equação:
Como , então . Substituindo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Integrando em relação a :
Mas como estamos lidando com condições iniciais específicas, podemos considerar :

Passo 8

Agora, encontramos usando :

Passo 9

Com e determinados, voltamos à solução geral:
Substituindo as expressões de e :

Passo 10

Vamos simplificar a expressão:
Perceba que e combinam termos de forma que simplificam a expressão final.

Resposta

Portanto, a solução da equação dada é:

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