Mostre que a solução de
é dada por
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para resolver uma equação diferencial parcial, especificamente a equação da onda:
. Essa equação descreve como ondas, como as do som ou da luz, se propagam no espaço e no tempo. Para resolver isso, precisamos usar métodos de resolução de equações diferenciais parciais e aplicar as condições iniciais dadas:
e
. Vamos descobrir como encontrar a solução passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da solução geral da equação da onda em uma dimensão. A solução pode ser escrita como a soma de duas funções: uma que se move para a direita e outra que se move para a esquerda. Matematicamente, isso é:
Aqui,
e
são funções que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Começamos com
:
E a derivada em relação ao tempo:
Essas duas equações vão nos ajudar a encontrar
e
.
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações para
e
. Somando as duas equações:
Isso simplifica para:
Mas para simplificar ainda mais, vamos resolver as equações individualmente.
Passo 5
Primeiro, somamos e subtraímos as equações para isolar
e
:
Somando:
Subtraindo:
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
na segunda equação:
Como
, então
. Substituindo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Integrando em relação a
:
Mas como estamos lidando com condições iniciais específicas, podemos considerar
:
Passo 8
Agora, encontramos
usando
:
Passo 9
Com
e
determinados, voltamos à solução geral:
Substituindo as expressões de
e
:
Passo 10
Vamos simplificar a expressão:
Perceba que
e
combinam termos de forma que simplificam a expressão final.
Resposta
Portanto, a solução da equação dada é:
Exercícios relacionados
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.4)
(14.4)
Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
A velocidade de descida de um pára-quedas é dada por
, onde
e
. Encontre a função velocidade considerando
.
Encontre a solução
da equação de Laplace na região semicircular
, satisfazendo às condições de fronteira
onde
.