Determine se a solução em série de potências em torno do ponto , para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é e queremos saber se dá para resolver essa equação usando uma série de potências em torno de . Isso envolve matemática de séries e equações diferenciais. A gente vai precisar entender sobre pontos singulares e a convergência de séries para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. Aqui, o coeficiente de é , de é , e o termo independente é . A gente precisa verificar se a série de potências vai dar certo, ou seja, se a solução existe e para quais valores de essa série converge.

Passo 3

Agora, vamos ver onde a série pode ter problemas, ou seja, onde a equação pode ter pontos singulares. Um ponto singular ocorre quando o coeficiente de é zero, porque aí a equação muda de comportamento. Então, resolvemos . Isso dá , que são números imaginários.

Passo 4

Como estamos expandindo em torno de , queremos saber até onde a série de potências funciona. A série de potências geralmente converge até o ponto mais próximo onde há um problema, que são os pontos singulares. Aqui, os pontos singulares estão a uma distância de 2 unidades de (já que ).

Passo 5

Portanto, a série de potências em torno de vai convergir para todos os que estão dentro de um raio de 2 unidades do ponto de expansão. Isso significa que a solução vale para .

Resposta

Sim, a solução em série de potências em torno de existe, e a série converge para todos os valores de tais que .

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a) mostre que
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(14.4)
Mostre que a solução de é dada por