Determine se a solução em série de potências em torno do ponto
, para os valores de a indicados, existe para cada uma das seguintes equações diferenciais, e faça um prognóstico para o conjunto de valores para os quais as séries são convergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que é
e queremos saber se dá para resolver essa equação usando uma série de potências em torno de
. Isso envolve matemática de séries e equações diferenciais. A gente vai precisar entender sobre pontos singulares e a convergência de séries para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial. Aqui, o coeficiente de
é
, de
é
, e o termo independente é
. A gente precisa verificar se a série de potências vai dar certo, ou seja, se a solução existe e para quais valores de
essa série converge.
Passo 3
Agora, vamos ver onde a série pode ter problemas, ou seja, onde a equação pode ter pontos singulares. Um ponto singular ocorre quando o coeficiente de
é zero, porque aí a equação muda de comportamento. Então, resolvemos
. Isso dá
, que são números imaginários.
Passo 4
Como estamos expandindo em torno de
, queremos saber até onde a série de potências funciona. A série de potências geralmente converge até o ponto mais próximo onde há um problema, que são os pontos singulares. Aqui, os pontos singulares estão a uma distância de 2 unidades de
(já que
).
Passo 5
Portanto, a série de potências em torno de
vai convergir para todos os
que estão dentro de um raio de 2 unidades do ponto de expansão. Isso significa que a solução vale para
.
Resposta
Sim, a solução em série de potências em torno de
existe, e a série converge para todos os valores de
tais que
.
Exercícios relacionados
Resolva as Equações Diferenciais e PVI propostos, por variáveis separáveis:
a) mostre que
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial
. Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.4)
(14.4)
Mostre que a solução de
é dada por