A velocidade de descida de um pára-quedas é dada por , onde e . Encontre a função velocidade considerando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade de descida de um pára-quedas, que é dada por uma equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar uma função que descreva essa velocidade ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente de equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Aqui, é a derivada da velocidade em relação ao tempo, é a aceleração devido à gravidade, é uma constante relacionada à resistência do ar, e é a massa do pára-quedas.

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos na equação:
Simplificando a fração:

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial linear da forma:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de , que é .

Passo 5

Calculamos o fator integrante :

Passo 6

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação ao tempo :
A integral do lado direito é:

Passo 8

Resolvendo para :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A função que descreve a velocidade do pára-quedas ao longo do tempo é:

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Mostre que a solução de é dada por
Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades estejam fixas. A corda é colocada em movimento a partir de sua posição de equilíbrio com uma velocidade inicial . Use separação de variáveis para determinar a solução do problema para as funções indicadas abaixo:
(14.4)
Encontre a solução da equação de Laplace na região semicircular , satisfazendo às condições de fronteira
onde .
Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas: .