A velocidade de descida de um pára-quedas é dada por
, onde
e
. Encontre a função velocidade considerando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a velocidade de descida de um pára-quedas, que é dada por uma equação diferencial. Nosso objetivo é encontrar uma função que descreva essa velocidade ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente de equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que nos foi dada:
Aqui,
é a derivada da velocidade em relação ao tempo,
é a aceleração devido à gravidade,
é uma constante relacionada à resistência do ar, e
é a massa do pára-quedas.
Passo 3
Vamos substituir os valores fornecidos na equação:
Simplificando a fração:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial linear da forma:
Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, identificamos o coeficiente de
, que é
.
Passo 5
Calculamos o fator integrante
:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado direito é:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A função que descreve a velocidade do pára-quedas ao longo do tempo é: