Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades sào mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial
. Em cada um dos Problemas de 1 a 4 faça os passos descritos a seguir. Considere
e
nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento
para a posição inicial
dada.
(a) Encontre o deslocamento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o movimento de uma corda elástica. A questão pede para encontrar o deslocamento
da corda ao longo do tempo, dado um deslocamento inicial específico
. Vamos usar os conceitos da equação da onda, que descreve como as ondas se propagam em uma corda fixa nas extremidades. Para isso, vamos precisar aplicar a série de Fourier para expandir a função inicial
em termos de funções senoidais que satisfazem as condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, a equação da onda para uma corda fixa nas extremidades é dada por:
onde
é a velocidade da onda na corda. No nosso caso,
.
As condições de contorno são
e
, já que as extremidades da corda estão fixas. As condições iniciais são:
Passo 3
A solução geral para
pode ser expressa como uma soma de modos harmônicos:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar a partir da função inicial
. Para encontrar
, utilizamos a série de Fourier para funções com condições de contorno de Dirichlet (fixas nas extremidades):
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
para a função
dada:
Substituindo
e
, temos:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou utilizando tabelas de integrais, resultando em expressões para cada
.
Resposta
O deslocamento da corda para a posição inicial dada é: