Seja . Verifique a continuidade de em . No caso de ser descontínua verifique a possibilidade de torná-la contínua.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é contínua em . A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e o conceito de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e verificar se a função pode ser ajustada para ser contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função em . Se substituirmos diretamente na função, teremos:
Isso resulta em uma forma indeterminada, o que significa que precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 para verificar a continuidade.

Passo 3

Para calcular o limite, observe que o numerador pode ser fatorado. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a função da seguinte maneira:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Substituindo na expressão simplificada:
Portanto, o limite de em é igual a .

Passo 5

Para a função ser contínua em , o limite quando se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. No entanto, inicialmente, está indefinido, pois resulta em . Para tornar contínua em , devemos definir como o valor do limite que encontramos.

Resposta

A função é descontínua em inicialmente, mas podemos torná-la contínua definindo .

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Prove que .
Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades sào mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial . Em cada um dos Problemas de 1 a 4 faça os passos descritos a seguir. Considere e nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento para a posição inicial dada.
Resolva os limites abaixo:
Resolva os limites abaixo: