Seja
. Verifique a continuidade de
em
. No caso de
ser descontínua verifique a possibilidade de torná-la contínua.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é contínua em
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites e o conceito de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites e verificar se a função pode ser ajustada para ser contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
em
. Se substituirmos
diretamente na função, teremos:
Isso resulta em uma forma indeterminada, o que significa que precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 para verificar a continuidade.
Passo 3
Para calcular o limite, observe que o numerador
pode ser fatorado. Sabemos que:
Então, podemos reescrever a função
da seguinte maneira:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1:
Substituindo
na expressão simplificada:
Portanto, o limite de
em
é igual a
.
Passo 5
Para a função
ser contínua em
, o limite quando
se aproxima de 1 deve ser igual ao valor da função nesse ponto. No entanto, inicialmente,
está indefinido, pois resulta em
. Para tornar
contínua em
, devemos definir
como o valor do limite que encontramos.
Resposta
A função
é descontínua em
inicialmente, mas podemos torná-la contínua definindo
.
Exercícios relacionados
Prove que
.
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades sào mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial
. Em cada um dos Problemas de 1 a 4 faça os passos descritos a seguir. Considere
e
nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento para a posição inicial
dada.
(a) Encontre o deslocamento
Resolva os limites abaixo:
Resolva os limites abaixo: