Prove que dd x(x^n)=lim z x z^n-x^nz-x.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que foi pedido no exercício. Precisamos provar que a derivada de , que é representada por , é igual ao limite quando se aproxima de de .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada e limites.
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos básicos sobre derivadas.
  • A definição de limite.
  • Propriedade de fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função f'(x) = limh to 0 f(x+h) - f(x)h em um ponto dd x(x^n) = limh to 0 (x + h)^n - x^nh :
Para a função , substituindo na definição:
Nosso objetivo é mostrar que este limite é equivalente a .

Passo 3

Observe que podemos fazer uma substituição para facilitar a comparação. Vamos deixar limh to 0 (x + h)^n - x^nh = limz to x z^n - x^nz - x . Quando tende a 0, tende a . Assim, podemos reescrever o limite da derivada:
Essa substituição evidencia que os dois limites são, de fato, equivalentes.

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador z^n - x^n = (z - x)(z^n-1 + z^n-2x + dots + zx^n-2 + x^n-1) . Sabemos que:
limz to x (z - x)(z^n-1 + z^n-2x + dots + zx^n-2 + x^n-1)z - x
Substituindo isso na expressão do limite:

Passo 5

Cancelamos o termo limz to x ( z^n-1 + z^n-2x + dots + zx^n-2 + x^n-1 ) no numerador e denominador:
Agora, como tende a , cada termo tende a . Existem termos iguais a .

Passo 6

Portanto, o limite se torna:
n cdot x^n-1
Isso mostra que:
dd x(x^n) = n cdot x^n-1
E também que:
lim z x z^n-x^nz-x = n cdot x^n-1

Resposta

Provamos que .

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