Prove que .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que foi pedido no exercício. Precisamos provar que a derivada de , que é representada por , é igual ao limite quando se aproxima de de .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada e limites.
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos básicos sobre derivadas.
  • A definição de limite.
  • Propriedade de fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função em um ponto :
Para a função , substituindo na definição:
Nosso objetivo é mostrar que este limite é equivalente a .

Passo 3

Observe que podemos fazer uma substituição para facilitar a comparação. Vamos deixar . Quando tende a 0, tende a . Assim, podemos reescrever o limite da derivada:
Essa substituição evidencia que os dois limites são, de fato, equivalentes.

Passo 4

Agora, vamos fatorar o numerador . Sabemos que:
Substituindo isso na expressão do limite:

Passo 5

Cancelamos o termo no numerador e denominador:
Agora, como tende a , cada termo tende a . Existem termos iguais a .

Passo 6

Portanto, o limite se torna:
Isso mostra que:
E também que:

Resposta

Provamos que .

Exercícios relacionados

Considere uma corda elástica de comprimento cujas extremidades sào mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial . Em cada um dos Problemas de 1 a 4 faça os passos descritos a seguir. Considere e nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento para a posição inicial dada.
(a) Encontre a solução da equação de Laplace no retângulo , que satisfaz as condições de contorno
Seja . Verifique a continuidade de em . No caso de ser descontínua verifique a possibilidade de torná-la contínua.
Resolva os limites abaixo: