Prove que
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que foi pedido no exercício. Precisamos provar que a derivada de
, que é representada por
, é igual ao limite quando
se aproxima de
de
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada e limites.
O que vamos precisar:
- Conhecimentos básicos sobre derivadas.
- A definição de limite.
- Propriedade de fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada de uma função
em um ponto
:
Para a função
, substituindo na definição:
Nosso objetivo é mostrar que este limite é equivalente a
.
Passo 3
Observe que podemos fazer uma substituição para facilitar a comparação. Vamos deixar
. Quando
tende a 0,
tende a
. Assim, podemos reescrever o limite da derivada:
Essa substituição evidencia que os dois limites são, de fato, equivalentes.
Passo 4
Agora, vamos fatorar o numerador
. Sabemos que:
Substituindo isso na expressão do limite:
Passo 5
Cancelamos o termo
no numerador e denominador:
Agora, como
tende a
, cada termo
tende a
. Existem
termos iguais a
.
Passo 6
Portanto, o limite se torna:
Isso mostra que:
E também que:
Resposta
Provamos que
.
Exercícios relacionados
Considere uma corda elástica de comprimento
cujas extremidades sào mantidas fixas. A corda é colocada em movimento sem velocidade inicial de uma posição inicial
. Em cada um dos Problemas de 1 a 4 faça os passos descritos a seguir. Considere
e
nos itens de (b) a (d).
(a) Encontre o deslocamento para a posição inicial
dada.
(a) Encontre o deslocamento
(a) Encontre a solução
da equação de Laplace no retângulo
, que satisfaz as condições de contorno
Seja
. Verifique a continuidade de
em
. No caso de
ser descontínua verifique a possibilidade de torná-la contínua.
Resolva os limites abaixo: