a) Considere uma corda elástica com densidade linear de massa . Mostre que para os componentes verticais a lei de Newton fica da seguinte forma:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda elástica com uma densidade linear de massa, representada por . O objetivo é mostrar como a segunda lei de Newton se aplica aos componentes verticais dessa corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas contínuos e decompor as forças verticais atuantes na corda.

Passo 2

Vamos considerar uma pequena seção da corda entre as posições e . A massa dessa seção pode ser aproximada por . Contudo, como a corda está elástica e pode se deslocar verticalmente, precisamos levar em conta o deslocamento . Assim, a massa efetiva dessa seção é , onde representa a variação do deslocamento vertical.

Passo 3

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante sobre essa seção é igual à massa multiplicada pela aceleração. A aceleração vertical é dada por , então temos:

Passo 4

Agora, vamos analisar as forças verticais atuantes na seção da corda. Há duas componentes de tensão nas extremidades dessa seção:
  1. No ponto , a força vertical é .
  2. No ponto , a força vertical é . O sinal negativo indica que essa força está na direção oposta.

Passo 5

Além das forças de tensão, pode haver uma força externa perpendicular à corda, representada por . Essa força atua ao longo de toda a extensão da seção considerada, então a força total externa é .

Passo 6

Aplicando a segunda lei de Newton, igualamos a força resultante à soma das forças verticais:

Resposta

Portanto, demonstramos que para os componentes verticais, a segunda lei de Newton se expressa da seguinte maneira:

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