a) Considere uma corda elástica com densidade linear de massa rho(x). Mostre que para os componentes verticais a 2^a lei de Newton fica da seguinte forma:
rho(x) raizDe

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda elástica com uma densidade linear de massa, representada por rho(x). O objetivo é mostrar como a segunda lei de Newton se aplica aos componentes verticais dessa corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas contínuos e decompor as forças verticais atuantes na corda.

Passo 2

Vamos considerar uma pequena seção da corda entre as posições x e x + De. A massa dessa seção pode ser aproximada por rho(x) De. Contudo, como a corda está elástica e pode se deslocar verticalmente, precisamos levar em conta o deslocamento u(x, t). Assim, a massa efetiva dessa seção é rho(x) raizDe, onde De representa a variação do deslocamento vertical.

Passo 3

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante sobre essa seção é igual à massa multiplicada pela aceleração. A aceleração vertical é dada por partial^2partial t^2 u(x, t), então temos:
rho(x) raizDe

Passo 4

Agora, vamos analisar as forças verticais atuantes na seção da corda. Há duas componentes de tensão nas extremidades dessa seção:
  1. No ponto x + De, a força vertical é T(x+De.
  2. No ponto x, a força vertical é -T(x, t) sin [theta(x, t)]. O sinal negativo indica que essa força está na direção oposta.

Passo 5

Além das forças de tensão, pode haver uma força externa perpendicular à corda, representada por F(x, t). Essa força atua ao longo de toda a extensão De da seção considerada, então a força total externa é F(x, t) De.

Passo 6

Aplicando a segunda lei de Newton, igualamos a força resultante à soma das forças verticais:
rho(x) raizDe

Resposta

Portanto, demonstramos que para os componentes verticais, a segunda lei de Newton se expressa da seguinte maneira:
rho(x) raizDe

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