a) Considere uma corda elástica com densidade linear de massa
. Mostre que para os componentes verticais a
lei de Newton fica da seguinte forma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda elástica com uma densidade linear de massa, representada por
. O objetivo é mostrar como a segunda lei de Newton se aplica aos componentes verticais dessa corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas contínuos e decompor as forças verticais atuantes na corda.
Passo 2
Vamos considerar uma pequena seção da corda entre as posições
e
. A massa dessa seção pode ser aproximada por
. Contudo, como a corda está elástica e pode se deslocar verticalmente, precisamos levar em conta o deslocamento
. Assim, a massa efetiva dessa seção é
, onde
representa a variação do deslocamento vertical.
Passo 3
De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante sobre essa seção é igual à massa multiplicada pela aceleração. A aceleração vertical é dada por
, então temos:
Passo 4
Agora, vamos analisar as forças verticais atuantes na seção da corda. Há duas componentes de tensão nas extremidades dessa seção:
- No ponto
, a força vertical é . - No ponto
, a força vertical é . O sinal negativo indica que essa força está na direção oposta.
Passo 5
Além das forças de tensão, pode haver uma força externa perpendicular à corda, representada por
. Essa força atua ao longo de toda a extensão
da seção considerada, então a força total externa é
.
Passo 6
Aplicando a segunda lei de Newton, igualamos a força resultante à soma das forças verticais:
Resposta
Portanto, demonstramos que para os componentes verticais, a segunda lei de Newton se expressa da seguinte maneira:
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. Sendo
e
constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador
).