Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial
. Sendo
e
constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você me mandou:
com a condição inicial
. A matéria envolvida aqui são as equações diferenciais e, para resolver, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace de uma função
é denotada por
e basicamente converte funções do tempo para a variável
. Lembre-se que a transformada de Laplace da derivada é:
onde
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação:
Substituindo pela fórmula da derivada e sabendo que
:
Passo 4
Agora, vamos organizar os termos para isolar
:
Juntando os termos com
:
Passo 5
Isolando
:
Vamos separar os termos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Sabemos que:
E para o segundo termo, usamos a decomposição em frações parciais.
Passo 7
Para o segundo termo
, fazemos:
Portanto:
Passo 8
Juntando os dois termos:
Simplificando:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Como você usaria essa equação para explicar a relação entre o tamanho dos instrumentos musicais (acústicos) e as respectivas tessituras musicais (se emite som na faixa de frequência aguda e/ou grave).
a) Considere uma corda elástica com densidade linear de massa
. Mostre que para os componentes verticais a
lei de Newton fica da seguinte forma:
Enuncie o Teorema Fundamental das Integrais de Linha.
a)
e
, então
.