Resolva a seguinte equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem,
sujeita à seguinte condição inicial . Sendo e constantes positivas. Use o método da transformada de Laplace (vulgo operador ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem que você me mandou:
com a condição inicial . A matéria envolvida aqui são as equações diferenciais e, para resolver, vamos usar a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação. A transformada de Laplace de uma função é denotada por e basicamente converte funções do tempo para a variável . Lembre-se que a transformada de Laplace da derivada é:
onde .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em cada termo da equação:
Substituindo pela fórmula da derivada e sabendo que :

Passo 4

Agora, vamos organizar os termos para isolar :
Juntando os termos com :

Passo 5

Isolando :
Vamos separar os termos:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a transformada inversa para voltar ao domínio do tempo. Sabemos que:
E para o segundo termo, usamos a decomposição em frações parciais.

Passo 7

Para o segundo termo , fazemos:
Portanto:

Passo 8

Juntando os dois termos:
Simplificando:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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a) e , então .