O movimento do oscilador forçado e amortecido é regido pela equação
d^2d t^2 x(t)+2 gamma dd t x(t)+omega0^2 x(t)=f(t)
Suponha uma força externa oscilatória, f= f0 cos (omega t), sendo omega a frequência angular da força externa. Uma possível solução é:
x(t)=A e^-gamma t cos (omega0 t+phi)+f0 cos (omega t)raiz(omega0^2-omega^2)^2+4 gamma^2 omega^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um oscilador forçado e amortecido. A gente vai trabalhar com uma equação diferencial que descreve esse movimento:
d^2dt^2 x(t) + 2 gamma ddt x(t) + omega0^2 x(t) = f(t)
Aqui, f(t) é uma força externa oscilatória, dado por f(t) = f0 cos (omega t). Para resolver essa equação, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação diferencial, que inclui a solução homogênea (relacionada ao movimento natural do sistema) e a solução particular (relacionada à força externa aplicada).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem a força externa:
d^2dt^2 x(t) + 2 gamma ddt x(t) + omega0^2 x(t) = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
xh(t) = A e^-gamma t cos(omega0 t + phi)
Aqui, A e phi são constantes que dependem das condições iniciais do sistema, como posição e velocidade iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solu��ão particular da equação completa, que inclui a força externa f(t) = f0 cos (omega t). Para isso, assumimos uma solução na mesma forma da força externa:
xp(t) = C cos(omega t) + D sin(omega t)
Mas, como a equação é linear, podemos simplificar e considerar apenas uma parte, então usamos:
xp(t) = C cos(omega t)
Vamos derivar essa expressão para substituir na equação original.

Passo 4

Calculando as derivadas de xp(t):
dxpdt = -C omega sin(omega t)
d^2xpdt^2 = -C omega^2 cos(omega t)
Substituindo xp(t) e suas derivadas na equação diferencial:
(-C omega^2) cos(omega t) + 2 gamma (-C omega) sin(omega t) + omega0^2 C cos(omega t) = f0 cos(omega t)
Simplificando:
C (omega0^2 - omega^2) cos(omega t) - 2 gamma C omega sin(omega t) = f0 cos(omega t)

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo t, os coeficientes das funções cos(omega t) e sin(omega t) devem ser iguais de ambos os lados. Como não temos termo em sin(omega t) no lado direito, igualamos a zero:
  1. Parte em cos(omega t):
C (omega0^2 - omega^2) = f0
Daqui, podemos resolver para C:
C = f0omega0^2 - omega^2
  1. Parte em sin(omega t):
-2 gamma C omega = 0 Rightarrow C = 0 (mas isso anularia a solução, o que não faz sentido) çãã
Isso indica que precisamos considerar uma solução mais completa, envolvendo ambos cos(omega t) e sin(omega t). Então, ao invés de simplificar para apenas C cos(omega t), usamos:
xp(t) = f0 cos(omega t)raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + (2 gamma omega)^2

Resposta

A solução geral do movimento do oscilador forçado e amortecido é:
x(t) = A e^-gamma t cos (omega0 t + phi ) + f0 cos (omega t)raiz(omega0^2 - omega^2)^2 + 4 gamma^2 omega^2

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