O movimento do oscilador forçado e amortecido é regido pela equação
Suponha uma força externa oscilatória,
, sendo
a frequência angular da força externa. Uma possível solução é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o movimento de um oscilador forçado e amortecido. A gente vai trabalhar com uma equação diferencial que descreve esse movimento:
Aqui,
é uma força externa oscilatória, dado por
. Para resolver essa equação, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação diferencial, que inclui a solução homogênea (relacionada ao movimento natural do sistema) e a solução particular (relacionada à força externa aplicada).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, sem a força externa:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é dada por:
Aqui,
e
são constantes que dependem das condições iniciais do sistema, como posição e velocidade iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solu��ão particular da equação completa, que inclui a força externa
. Para isso, assumimos uma solução na mesma forma da força externa:
Mas, como a equação é linear, podemos simplificar e considerar apenas uma parte, então usamos:
Vamos derivar essa expressão para substituir na equação original.
Passo 4
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes das funções
e
devem ser iguais de ambos os lados. Como não temos termo em
no lado direito, igualamos a zero:
- Parte em
:
Daqui, podemos resolver para
:
- Parte em
:
Isso indica que precisamos considerar uma solução mais completa, envolvendo ambos
e
. Então, ao invés de simplificar para apenas
, usamos:
Resposta
A solução geral do movimento do oscilador forçado e amortecido é: