Considere uma corda homogênea de comprimento , densidade linear e tensão . As extremidades da corda estão fixas, e ela é excitada por uma fonte que gera ondas transversais com frequência variável. Determine: as três menores frequências nas quais se formam ondas estacionárias na corda; a expressão da função de onda para o segundo harmônico; a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima de .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda de comprimento , densidade linear e tensão . As extremidades da corda estão fixas e uma fonte gera ondas transversais com frequência variável. Precisamos:
  1. Encontrar as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda.
  2. Escrever a função de onda para o segundo harmônico.
  3. Calcular a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas fixas, frequências harmônicas, função de onda e energia de ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda. Quando uma corda está fixa nas extremidades, apenas certas frequências permitem a formação de ondas estacionárias. Essas frequências são múltiplos da frequência fundamental e são chamadas de harmônicos.
A frequência fundamental ( ) é a menor frequência na qual a corda vibra, formando um único segmento. As frequências harmônicas seguintes serão múltiplos inteiros dessa frequência.
A fórmula para a frequência fundamental é:
Vamos calcular substituindo os valores dados.

Passo 3

Calculando a frequência fundamental :
Então, a frequência fundamental é aproximadamente .

Passo 4

Agora, as três menores frequências correspondem ao primeiro, segundo e terceiro harmônicos. Elas são dadas por:
Onde .
Calculando:
  • Primeira frequência ( ):
  • Segunda frequência ( ):
  • Terceira frequência ( ):

Passo 5

Em resumo, as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda são:

Passo 6

Agora, vamos escrever a expressão da função de onda para o segundo harmônico. A função de onda de uma onda estacionária em uma corda fixa pode ser escrita como:
Para o segundo harmônico ( ):
Simplificando:
Onde é a amplitude do segundo harmônico.

Passo 7

Por fim, vamos calcular a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima .
A energia total ( ) de uma onda estacionária em uma corda é a soma da energia cinética e da energia potencial. Para uma corda vibrando em um harmônico específico, a energia total é dada por:
Onde:
  • é a densidade linear,
  • é a frequência angular,
  • é a amplitude,
  • é o comprimento da corda.
Primeiro, precisamos encontrar a frequência angular para o terceiro harmônico.

Passo 8

A frequência angular está relacionada com a frequência por:
Para o terceiro harmônico, :

Passo 9

Agora, substituímos os valores na fórmula da energia total:
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando todos os termos:
Simplificando:

Resposta

As três menores frequências de ondas estacionárias na corda são aproximadamente , e . A função de onda para o segundo harmônico é . A energia total armazenada na corda no terceiro harmônico com amplitude máxima de é aproximadamente .

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