Considere uma corda homogênea de comprimento
, densidade linear
e tensão
. As extremidades da corda estão fixas, e ela é excitada por uma fonte que gera ondas transversais com frequência variável. Determine: as três menores frequências nas quais se formam ondas estacionárias na corda; a expressão da função de onda para o segundo harmônico; a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda de comprimento
, densidade linear
e tensão
. As extremidades da corda estão fixas e uma fonte gera ondas transversais com frequência variável. Precisamos:
- Encontrar as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda.
- Escrever a função de onda para o segundo harmônico.
- Calcular a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas fixas, frequências harmônicas, função de onda e energia de ondas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda. Quando uma corda está fixa nas extremidades, apenas certas frequências permitem a formação de ondas estacionárias. Essas frequências são múltiplos da frequência fundamental e são chamadas de harmônicos.
A frequência fundamental (
) é a menor frequência na qual a corda vibra, formando um único segmento. As frequências harmônicas seguintes serão múltiplos inteiros dessa frequência.
A fórmula para a frequência fundamental é:
Vamos calcular
substituindo os valores dados.
Passo 3
Calculando a frequência fundamental
:
Então, a frequência fundamental é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, as três menores frequências correspondem ao primeiro, segundo e terceiro harmônicos. Elas são dadas por:
Onde
.
Calculando:
- Primeira frequência (
): - Segunda frequência (
): - Terceira frequência (
):
Passo 5
Em resumo, as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda são:
Passo 6
Agora, vamos escrever a expressão da função de onda para o segundo harmônico. A função de onda de uma onda estacionária em uma corda fixa pode ser escrita como:
Para o segundo harmônico (
):
Simplificando:
Onde
é a amplitude do segundo harmônico.
Passo 7
Por fim, vamos calcular a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima
.
A energia total (
) de uma onda estacionária em uma corda é a soma da energia cinética e da energia potencial. Para uma corda vibrando em um harmônico específico, a energia total é dada por:
Onde:
-
é a densidade linear, -
é a frequência angular, -
é a amplitude, -
é o comprimento da corda.
Primeiro, precisamos encontrar a frequência angular
para o terceiro harmônico.
Passo 8
A frequência angular
está relacionada com a frequência
por:
Para o terceiro harmônico,
:
Passo 9
Agora, substituímos os valores na fórmula da energia total:
Calculando passo a passo:
-
-
- Multiplicando todos os termos:
Simplificando:
Resposta
As três menores frequências de ondas estacionárias na corda são aproximadamente
,
e
. A função de onda para o segundo harmônico é
. A energia total armazenada na corda no terceiro harmônico com amplitude máxima de
é aproximadamente
.