Considere uma corda homogênea de comprimento L=2 m, densidade linear mu=0.05 kg / m e tensão T=150 N. As extremidades da corda estão fixas, e ela é excitada por uma fonte que gera ondas transversais com frequência variável. Determine: as três menores frequências nas quais se formam ondas estacionárias na corda; a expressão da função de onda para o segundo harmônico; a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima de A=0.03 m.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma corda de comprimento L = 2,m, densidade linear mu = 0,05,kg/m e tensão T = 150,N. As extremidades da corda estão fixas e uma fonte gera ondas transversais com frequência variável. Precisamos:
  1. Encontrar as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda.
  2. Escrever a função de onda para o segundo harmônico.
  3. Calcular a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima A = 0,03,m.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias em cordas fixas, frequências harmônicas, função de onda e energia de ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda. Quando uma corda está fixa nas extremidades, apenas certas frequências permitem a formação de ondas estacionárias. Essas frequências são múltiplos da frequência fundamental e são chamadas de harmônicos.
A frequência fundamental ( f1) é a menor frequência na qual a corda vibra, formando um único segmento. As frequências harmônicas seguintes serão múltiplos inteiros dessa frequência.
A fórmula para a frequência fundamental é:
f1 = 12L raizTmu
Vamos calcular f1 substituindo os valores dados.

Passo 3

Calculando a frequência fundamental f1:
f1 = 12 times 2,m raiz150,N0,05,kg/m = 14 raiz3000,m^2/s^2 = 14 times 54,77,Hz approx 13,69,Hz
Então, a frequência fundamental é aproximadamente 13,69,Hz.

Passo 4

Agora, as três menores frequências correspondem ao primeiro, segundo e terceiro harmônicos. Elas são dadas por:
fn = n times f1
Onde n = 1, 2, 3.
Calculando:
  • Primeira frequência ( f1): 13,69,Hz
  • Segunda frequência ( f2): 2 times 13,69,Hz = 27,38,Hz
  • Terceira frequência ( f3): 3 times 13,69,Hz = 41,07,Hz

Passo 5

Em resumo, as três menores frequências que formam ondas estacionárias na corda são:
  1. f1 approx 13,69,Hz
  2. f2 approx 27,38,Hz
  3. f3 approx 41,07,Hz

Passo 6

Agora, vamos escrever a expressão da função de onda para o segundo harmônico. A função de onda de uma onda estacionária em uma corda fixa pode ser escrita como:
yn(x, t) = An sin(npi xL) cos(2pi fn t)
Para o segundo harmônico ( n = 2):
y2(x, t) = A2 sin(2pi x2,m) cos(2pi f2 t) = A2 sin(pi x) cos(2pi times 27,38,Hz times t)
Simplificando:
y2(x, t) = A2 sin(pi x) cos(54,76pi t)
Onde A2 é a amplitude do segundo harmônico.

Passo 7

Por fim, vamos calcular a energia total armazenada na corda quando ela vibra no terceiro harmônico com amplitude máxima A = 0,03,m.
A energia total ( E) de uma onda estacionária em uma corda é a soma da energia cinética e da energia potencial. Para uma corda vibrando em um harmônico específico, a energia total é dada por:
E = 12 mu omega^2 A^2 L
Onde:
  • mu é a densidade linear,
  • omega é a frequência angular,
  • A é a amplitude,
  • L é o comprimento da corda.
Primeiro, precisamos encontrar a frequência angular omega para o terceiro harmônico.

Passo 8

A frequência angular omega está relacionada com a frequência f por:
omega = 2pi f
Para o terceiro harmônico, f3 = 41,07,Hz:
omega3 = 2pi times 41,07,Hz approx 258,04,rad/s

Passo 9

Agora, substituímos os valores na fórmula da energia total:
E = 12 times 0,05,kg/m times (258,04,rad/s)^2 times (0,03,m)^2 times 2,m
Calculando passo a passo:
  1. (258,04)^2 approx 66563,2,rad^2/s^2
  2. (0,03)^2 = 0,0009,m^2
  3. Multiplicando todos os termos:
E = 12 times 0,05 times 66563,2 times 0,0009 times 2
Simplificando:
E = 0,025 times 66563,2 times 0,0009 times 2
E = 0,025 times 66563,2 times 0,0018
E approx 0,025 times 119.81376 approx 2,995,J

Resposta

As três menores frequências de ondas estacionárias na corda são aproximadamente 13,69,Hz, 27,38,Hz e 41,07,Hz. A função de onda para o segundo harmônico é y2(x, t) = A2 sin(pi x) cos(54,76pi t). A energia total armazenada na corda no terceiro harmônico com amplitude máxima de 0,03,m é aproximadamente 2,995,J.

Exercícios relacionados