Considere uma corda submetida a uma tensão tau=48 N, fixa em duas extremidades situadas em x=0 e x=L. Sabe-se que a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária produzida pela interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
y1(x, t)=12 sen(pi4 x-6 pi t) e y2(x, t)=12 sen(pi4 x+6 pi t)
Nestas condições, calcule:
o comprimento L da corda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma corda com tensão de 48 N, fixada nas extremidades em $ x = 0 $ e $ x = L $. A corda está oscilando no terceiro harmônico de uma onda estacionária, formada pela interferência de duas ondas progressivas. Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos e a relação entre comprimento da corda, tensão e frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar no terceiro harmônico. Em ondas estacionárias, os harmônicos representam múltiplos da frequência fundamental. O terceiro harmônico ($ n = 3 $) tem três vezes a frequência da fundamental e três nós adicionais na corda.

Passo 3

As ondas progressivas dadas são:
y1(x, t) = 12 sin(pi4 x - 6pi t)
y2(x, t) = 12 sin(pi4 x + 6pi t)
Quando essas duas ondas se combinam, formam uma onda estacionária. A forma geral de uma onda estacionária é:
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(omega t)
Comparando com as ondas dadas, identificamos que $ k = \frac{\pi}{4} $ e $ \omega = 6\pi $.

Passo 4

Sabemos que para o $ n $-ésimo harmônico, o número de nós é $ n+1 $, e o número de seções na corda é $ n $. A constante de onda $ k $ está relacionada com o comprimento $ L $ da corda pela fórmula:
n
Aqui, $ n = 3 $ (terceiro harmônico), então:
n+1

Passo 5

Vamos resolver a equação para encontrar $ L $:
L
Então, o comprimento da corda é 12 metros.

Resposta

O comprimento $ L $ da corda é de 12 metros.

Exercícios relacionados