Considere uma corda submetida a uma tensão
, fixa em duas extremidades situadas em
e
. Sabe-se que a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária produzida pela interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
Nestas condições, calcule:
o comprimento
da corda.
o comprimento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma corda com tensão de 48 N, fixada nas extremidades em $ x = 0 $ e $ x = L $. A corda está oscilando no terceiro harmônico de uma onda estacionária, formada pela interferência de duas ondas progressivas. Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos e a relação entre comprimento da corda, tensão e frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar no terceiro harmônico. Em ondas estacionárias, os harmônicos representam múltiplos da frequência fundamental. O terceiro harmônico ($ n = 3 $) tem três vezes a frequência da fundamental e três nós adicionais na corda.
Passo 3
As ondas progressivas dadas são:
Quando essas duas ondas se combinam, formam uma onda estacionária. A forma geral de uma onda estacionária é:
Comparando com as ondas dadas, identificamos que $ k = \frac{\pi}{4} $ e $ \omega = 6\pi $.
Passo 4
Sabemos que para o $ n $-ésimo harmônico, o número de nós é $ n+1 $, e o número de seções na corda é $ n $. A constante de onda $ k $ está relacionada com o comprimento $ L $ da corda pela fórmula:
Aqui, $ n = 3 $ (terceiro harmônico), então:
Passo 5
Vamos resolver a equação para encontrar $ L $:
Então, o comprimento da corda é 12 metros.
Resposta
O comprimento $ L $ da corda é de 12 metros.