Considere uma corda submetida a uma tensão tau=48 N, fixa em duas extremidades situadas em x=0 e x=L. Sabe-se que a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária produzida pela interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
y1(x, t)=12 sen(pi4 x-6 pi t) e y2(x, t)=12 sen(pi4 x+6 pi t)
Nestas condições, calcule:
(i) a onda estacionária resultante y(x, t), (ii) seu comprimento de onda lambda e (iii) sua frequência f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda que está sendo esticada com uma tensão de tau = 48, N e fixa em duas pontas, nos pontos x = 0 e x = L. A corda está vibrando no terceiro harmônico de uma onda estacionária, que é formada pela interferência de duas ondas que se movem em direções opostas. As duas ondas são dadas por:
y1(x, t) = 12 sin(pi4 x - 6pi t) e y2(x, t) = 12 sin(pi4 x + 6pi t)
Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos e as relações entre frequência, comprimento de onda e velocidade da onda para resolver os itens (i), (ii) e (iii).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a onda estacionária resultante y(x, t). Quando temos duas ondas que se movem em direções opostas, a soma delas pode ser expressa como uma onda estacionária usando a identidade trigonométrica:
sin A + sin B = 2 sin(A + B2) cos(A - B2)
Aplicando isso às nossas ondas y1 e y2:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 12 sin(pi4 x - 6pi t) + 12 sin(pi4 x + 6pi t)
Usando a identidade trigonométrica:
y(x, t) = 2 cdot 12 sin(pi4 x - 6pi t + pi4 x + 6pi t2) cos(pi4 x - 6pi t - (pi4 x + 6pi t)2)
Simplificando:
y(x, t) = sin(pi4 x) cos(6pi t)
Então, a onda estacionária resultante é:
y(x, t) = sin(pi4 x) cos(6pi t)

Passo 3

Agora, vamos determinar o comprimento de onda lambda. Na equação da onda resultante, o termo que multiplica x dentro da função seno é o número de onda k, que está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
k = 2pilambda
Na nossa expressão:
sin(pi4 x)
Temos que:
k = pi4
Usando a relação entre k e lambda:
pi4 = 2pilambda
Resolvendo para lambda:
lambda = 2pipi4 = 8
Portanto, o comprimento de onda é:
lambda = 8, m

Passo 4

Por último, vamos calcular a frequência f. Na expressão da onda resultante, o termo que multiplica t dentro da função cosseno é a frequência angular omega, que está relacionada à frequência pela fórmula:
omega = 2pi f
Na nossa expressão:
cos(6pi t)
Temos que:
omega = 6pi
Usando a relação entre omega e f:
6pi = 2pi f
Resolvendo para f:
f = 6pi2pi = 3, Hz
Portanto, a frequência é:
f = 3, Hz

Resposta

(i) A onda estacionária resultante é y(x, t) = sin(pi4 x) cos(6pi t);
(ii) O comprimento de onda é lambda = 8, m;
(iii) A frequência é f = 3, Hz.

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