Considere uma corda submetida a uma tensão
, fixa em duas extremidades situadas em
e
. Sabe-se que a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária produzida pela interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
Nestas condições, calcule:
(i) a onda estacionária resultante
, (ii) seu comprimento de onda
e (iii) sua frequência
.
(i) a onda estacionária resultante
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma corda que está sendo esticada com uma tensão de
e fixa em duas pontas, nos pontos
e
. A corda está vibrando no terceiro harmônico de uma onda estacionária, que é formada pela interferência de duas ondas que se movem em direções opostas. As duas ondas são dadas por:
Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos e as relações entre frequência, comprimento de onda e velocidade da onda para resolver os itens (i), (ii) e (iii).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a onda estacionária resultante
. Quando temos duas ondas que se movem em direções opostas, a soma delas pode ser expressa como uma onda estacionária usando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso às nossas ondas
e
:
Usando a identidade trigonométrica:
Simplificando:
Então, a onda estacionária resultante é:
Passo 3
Agora, vamos determinar o comprimento de onda
. Na equação da onda resultante, o termo que multiplica
dentro da função seno é o número de onda
, que está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
Na nossa expressão:
Temos que:
Usando a relação entre
e
:
Resolvendo para
:
Portanto, o comprimento de onda é:
Passo 4
Por último, vamos calcular a frequência
. Na expressão da onda resultante, o termo que multiplica
dentro da função cosseno é a frequência angular
, que está relacionada à frequência pela fórmula:
Na nossa expressão:
Temos que:
Usando a relação entre
e
:
Resolvendo para
:
Portanto, a frequência é:
Resposta
(i) A onda estacionária resultante é
;
(ii) O comprimento de onda é
;
(iii) A frequência é
.