Um foguete de massa
é lançado verticalmente com velocidade
da superfície de um planeta perfeitamente esférico de massa
(massa uniformemente distribuída) e raio
, alcançando altura máxima
. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por
e desprezando a rotação do planeta em torno de si, responda os itens a seguir:
- Atenção: nos itens (b) e © abaixo, considere que
é uma altura máxima finita, ou seja, que
.
Sabendo que
, onde
é a energia cinética inicial do foguete e
é a energia cinética necessária para o foguete escapar do planeta, calcule valor da constante
. Expresse seu resultado apenas em termos de
e
.
Sabendo que
Passo 1
Entendendo o Problema
Então, temos um foguete de massa $ m $ sendo lançado verticalmente de um planeta com massa $ M $ e raio $ R $. Ele parte com uma velocidade inicial $ v_0 $ e alcança uma altura máxima $ h $. Queremos descobrir o valor da constante $ \beta $ que relaciona a energia cinética inicial do foguete $ K_0 $ com a energia cinética necessária para escapar do planeta $ K_{esc} $, sabendo que $ K_0 = \beta K_{esc} $. Vamos resolver isso usando conceitos de energia mecânica e gravitação.
Passo 2
Conceitos de Energia Mecânica
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um objeto em movimento sob a influência da gravidade é a soma da energia cinética ($ K
U $). A energia potencial gravitacional para uma distância $ r $ do centro do planeta é dada por:
onde $ G $ é a constante da gravitação universal.
Passo 3
Energia Mecânica Inicial e Final
No lançamento, a energia total do foguete é a soma da energia cinética inicial $ K_0 $ e da energia potencial na superfície do planeta ($ r = R $):
No ponto mais alto da trajetória ($ r = R + h $), a velocidade é zero, então a energia total é apenas a energia potencial:
Passo 4
Conservação da Energia Mecânica
Como não há forças não conservativas agindo (como resistência do ar), a energia mecânica é conservada. Portanto:
Substituindo as expressões:
Passo 5
Isolando a Energia Cinética Inicial $ K_0 $
Vamos resolver a equação para $ K_0 $:
Passo 6
Entendendo a Energia de Escape $ K_{esc} $
A energia cinética necessária para escapar do planeta ($ K_{esc}
V_{esc} $):
Assim, a energia cinética de escape é:
Passo 7
Relacionando $ K_0 $ e $ K_{esc} $
Sabemos que:
Substituindo $ K_0 $ e $ K_{esc} $ das etapas anteriores:
Passo 8
Resolvendo para $ \beta $
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ \frac{G M m}{R} $:
Resposta
A constante $ \beta $ é dada por: