Um foguete de massa m é lançado verticalmente com velocidade v0 da superfície de um planeta perfeitamente esférico de massa M (massa uniformemente distribuída) e raio R, alcançando altura máxima h. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por G e desprezando a rotação do planeta em torno de si, responda os itens a seguir:
  • Atenção: nos itens (b) e © abaixo, considere que h é uma altura máxima finita, ou seja, que v0.
    Sabendo que K0=beta K esce , onde K0 é a energia cinética inicial do foguete e K esc é a energia cinética necessária para o foguete escapar do planeta, calcule valor da constante beta. Expresse seu resultado apenas em termos de h e R.

Passo 1

Entendendo o Problema
Então, temos um foguete de massa $ m $ sendo lançado verticalmente de um planeta com massa $ M $ e raio $ R $. Ele parte com uma velocidade inicial $ v_0 $ e alcança uma altura máxima $ h $. Queremos descobrir o valor da constante $ \beta $ que relaciona a energia cinética inicial do foguete $ K_0 $ com a energia cinética necessária para escapar do planeta $ K_{esc} $, sabendo que $ K_0 = \beta K_{esc} $. Vamos resolver isso usando conceitos de energia mecânica e gravitação.

Passo 2

Conceitos de Energia Mecânica
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total de um objeto em movimento sob a influência da gravidade é a soma da energia cinética ($ K K U $). A energia potencial gravitacional para uma distância $ r $ do centro do planeta é dada por:
U
onde $ G $ é a constante da gravitação universal.

Passo 3

Energia Mecânica Inicial e Final
No lançamento, a energia total do foguete é a soma da energia cinética inicial $ K_0 $ e da energia potencial na superfície do planeta ($ r = R $):
K0 í
No ponto mais alto da trajetória ($ r = R + h $), a velocidade é zero, então a energia total é apenas a energia potencial:
r = R

Passo 4

Conservação da Energia Mecânica
Como não há forças não conservativas agindo (como resistência do ar), a energia mecânica é conservada. Portanto:
Einicial = Efinal
Substituindo as expressões:
K0 - G M mR = -G M mR + h

Passo 5

Isolando a Energia Cinética Inicial $ K_0 $
Vamos resolver a equação para $ K_0 $:
K0
K0
K0 = -G M mR + h + G M mR
K0 = G M m ( 1R - 1R + h )

Passo 6

Entendendo a Energia de Escape $ K_{esc} $
A energia cinética necessária para escapar do planeta ($ K_{esc} Kesc ééà V_{esc} $):
Kesc
Assim, a energia cinética de escape é:
Vesc

Passo 7

Relacionando $ K_0 $ e $ K_{esc} $
Sabemos que:
K0
Substituindo $ K_0 $ e $ K_{esc} $ das etapas anteriores:
Kesc

Passo 8

Resolvendo para $ \beta $
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ \frac{G M m}{R} $:
beta

Resposta

A constante $ \beta $ é dada por:
beta

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