Um foguete de massa
é lançado verticalmente com velocidade
da superfície de um planeta perfeitamente esférico de massa
(massa uniformemente distribuída) e raio
, alcançando altura máxima
. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por
e desprezando a rotação do planeta em torno de si, responda os itens a seguir:
Calcule a velocidade de escape
do foguete com relação ao referido planeta, onde
é valor da velocidade inicial
para o qual o foguete atinge uma altura máxima infinita (
). Expresse seu resultado em termos de
e
.
Calcule a velocidade de escape
Passo 1
Vamos resolver um exercício de física sobre velocidade de escape. Nesse problema, temos um foguete lançado verticalmente de um planeta com massa
e raio
. Queremos descobrir qual é a velocidade inicial
que o foguete precisa ter para escapar completamente da atração gravitacional do planeta, ou seja, para alcançar uma altura infinita (
). Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e lei da gravitação universal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a velocidade de escape. É a velocidade mínima que um objeto precisa ter para escapar da atração gravitacional de um corpo celestial sem mais propulsão. Isso significa que, se o foguete for lançado com essa velocidade, ele conseguirá sair da atmosfera do planeta e nunca mais retornará.
Passo 3
Para encontrar essa velocidade, vamos igualar a energia cinética inicial do foguete com a energia potencial gravitacional dele no ponto de lançamento. A energia cinética (
) é dada por:
onde
é a massa do foguete e
é a velocidade inicial.
Passo 4
A energia potencial gravitacional (
) é a energia associada à posição do foguete no campo gravitacional do planeta. Ela é dada por:
onde
é a constante da gravitação universal,
é a massa do planeta e
é o raio do planeta. O sinal negativo indica que a energia potencial é uma energia de ligação, ou seja, o foguete está “preso” ao planeta.
Passo 5
Para que o foguete escape sem retornar, a energia total deve ser zero ou maior. Assim, estabelecemos que a energia cinética inicial deve ser igual à energia potencial gravitacional:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação cancelando a massa
dos dois lados:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A velocidade de escape
do foguete é dada por: