Um foguete de massa m é lançado verticalmente com velocidade v0 da superfície de um planeta perfeitamente esférico de massa M (massa uniformemente distribuída) e raio R, alcançando altura máxima h. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por G e desprezando a rotação do planeta em torno de si, responda os itens a seguir:
Calcule a velocidade de escape vesc do foguete com relação ao referido planeta, onde vesc é valor da velocidade inicial v0 para o qual o foguete atinge uma altura máxima infinita ( h infty). Expresse seu resultado em termos de G, R e M.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física sobre velocidade de escape. Nesse problema, temos um foguete lançado verticalmente de um planeta com massa M e raio R. Queremos descobrir qual é a velocidade inicial vesc que o foguete precisa ter para escapar completamente da atração gravitacional do planeta, ou seja, para alcançar uma altura infinita ( h infty). Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica e lei da gravitação universal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a velocidade de escape. É a velocidade mínima que um objeto precisa ter para escapar da atração gravitacional de um corpo celestial sem mais propulsão. Isso significa que, se o foguete for lançado com essa velocidade, ele conseguirá sair da atmosfera do planeta e nunca mais retornará.

Passo 3

Para encontrar essa velocidade, vamos igualar a energia cinética inicial do foguete com a energia potencial gravitacional dele no ponto de lançamento. A energia cinética ( Ec) é dada por:
Ec = 12 m v0^2
onde m é a massa do foguete e v0 é a velocidade inicial.

Passo 4

A energia potencial gravitacional ( Ep) é a energia associada à posição do foguete no campo gravitacional do planeta. Ela é dada por:
Ep = -G M mR
onde G é a constante da gravitação universal, M é a massa do planeta e R é o raio do planeta. O sinal negativo indica que a energia potencial é uma energia de ligação, ou seja, o foguete está “preso” ao planeta.

Passo 5

Para que o foguete escape sem retornar, a energia total deve ser zero ou maior. Assim, estabelecemos que a energia cinética inicial deve ser igual à energia potencial gravitacional:
12 m vesc^2 = G M mR

Passo 6

Podemos simplificar essa equação cancelando a massa m dos dois lados:
12 vesc^2 = G MR

Passo 7

Agora, isolamos vesc^2 multiplicando ambos os lados por 2:
vesc^2 = 2 G MR

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar vesc:
vesc = raiz2 G MR

Resposta

A velocidade de escape vesc do foguete é dada por:
vesc = raiz2 G MR

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