Um foguete de massa
é lançado verticalmente com velocidade
da superfície de um planeta perfeitamente esférico de massa
(massa uniformemente distribuída) e raio
, alcançando altura máxima
. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por
e desprezando a rotação do planeta em torno de si, responda os itens a seguir:
- Atenção: nos itens (b) e © abaixo, considere que
é uma altura máxima finita, ou seja, que
.
Sabendo que
, calcule o valor da constante
. Expresse seu resultado apenas em termos de
e
.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um foguete com massa $ m $ que é lançado verticalmente da superfície de um planeta com massa $ M $ e raio $ R $. A velocidade inicial do foguete é $ v_0 $, e ele alcança uma altura máxima $ h $. A constante de gravitação universal é $ G $. Precisamos descobrir o valor da constante $ \alpha $ sabendo que $ v_0 = \alpha v_{esc} $, onde $ v_{esc} $ é a velocidade de escape. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e a fórmula da velocidade de escape.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade de escape ($ v_{esc} $). É a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar completamente da atração gravitacional de um planeta sem mais propulsão. A fórmula da velocidade de escape é:
Passo 3
Sabemos que a velocidade inicial do foguete é $ v_0 = \alpha v_{esc} $. Isso significa que:
Passo 4
Agora, vamos pensar na energia do foguete. No lançamento, ele tem energia cinética devido à sua velocidade e energia potencial gravitacional devido à atração do planeta. Na altura máxima $ h $, toda a energia cinética é convertida em energia potencial.
A energia cinética inicial ($ E_c $) é:
A energia potencial gravitacional inicial ($ E_p $) é:
Na altura máxima $ h
E_p’ $) é:
Passo 5
Como a energia cinética se transforma em energia potencial na altura máxima, podemos igualar a energia total inicial à energia total final:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por $ m $ para cancelar a massa:
Passo 7
Agora, vamos isolar o termo que envolve $ v_0^2 $:
Passo 8
Substituindo $ v_0 = \alpha v_{esc} $ na equação acima:
Passo 9
Sabemos que $ v_{esc}^2 = \frac{2 G M}{R} $, então substituindo:
Passo 10
Podemos cancelar $ G M $ de ambos os lados:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por $ R $:
Passo 12
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ \alpha $:
Resposta
A constante $ \alpha $ é dada por: