Um foguete de massa m é lançado verticalmente com velocidade v0 da superfície de um planeta perfeitamente esférico de massa M (massa uniformemente distribuída) e raio R, alcançando altura máxima h. Sabendo que a constante de gravitação universal é dada por G e desprezando a rotação do planeta em torno de si, responda os itens a seguir:
  • Atenção: nos itens (b) e © abaixo, considere que h é uma altura máxima finita, ou seja, que v0.
    Sabendo que v0=alpha vesc, calcule o valor da constante alpha. Expresse seu resultado apenas em termos de h e R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um foguete com massa $ m $ que é lançado verticalmente da superfície de um planeta com massa $ M $ e raio $ R $. A velocidade inicial do foguete é $ v_0 $, e ele alcança uma altura máxima $ h $. A constante de gravitação universal é $ G $. Precisamos descobrir o valor da constante $ \alpha $ sabendo que $ v_0 = \alpha v_{esc} $, onde $ v_{esc} $ é a velocidade de escape. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e a fórmula da velocidade de escape.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade de escape ($ v_{esc} $). É a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar completamente da atração gravitacional de um planeta sem mais propulsão. A fórmula da velocidade de escape é:
vesc

Passo 3

Sabemos que a velocidade inicial do foguete é $ v_0 = \alpha v_{esc} $. Isso significa que:
v0 = alpha vesc

Passo 4

Agora, vamos pensar na energia do foguete. No lançamento, ele tem energia cinética devido à sua velocidade e energia potencial gravitacional devido à atração do planeta. Na altura máxima $ h $, toda a energia cinética é convertida em energia potencial.
A energia cinética inicial ($ E_c $) é:
h
A energia potencial gravitacional inicial ($ E_p $) é:
Ec
Na altura máxima $ h Ec = 12 m v0^2 E_p’ $) é:
Ep

Passo 5

Como a energia cinética se transforma em energia potencial na altura máxima, podemos igualar a energia total inicial à energia total final:
12 m v0^2 - G M mR = -G M mR + h

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por $ m $ para cancelar a massa:
m

Passo 7

Agora, vamos isolar o termo que envolve $ v_0^2 $:
v0^2
12 v0^2 = G MR - G MR + h

Passo 8

Substituindo $ v_0 = \alpha v_{esc} $ na equação acima:
v0 = alpha vesc
12 (alpha vesc)^2 = G M ( 1R - 1R + h )

Passo 9

Sabemos que $ v_{esc}^2 = \frac{2 G M}{R} $, então substituindo:
vesc^2 = 2 G MR
12 alpha^2 ( 2 G MR ) = G M ( 1R - 1R + h )

Passo 10

Podemos cancelar $ G M $ de ambos os lados:
G M

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por $ R $:
R
alpha^2 = 1 - RR + h

Passo 12

Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ \alpha $:
alpha

Resposta

A constante $ \alpha $ é dada por:
alpha

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