Considere uma corda submetida a uma tensão
, fixa em duas extremidades situadas em
e
. Sabe-se que a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária produzida pela interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
Nestas condições, calcule:
a massa
da corda.
Dado :
a massa
Dado :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corda com uma certa tensão que está vibrando no terceiro harmônico de uma onda estacionária. A gente vai precisar usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos, velocidade da onda e densidade linear de massa. No final, vamos descobrir qual é a massa dessa corda usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas ondas que estão formando a onda estacionária na corda. As ondas são dadas por:
Essas duas ondas têm a mesma amplitude, frequência e número de onda, mas estão se movendo em direções opostas.
Passo 3
Para formar a onda estacionária, a gente soma essas duas ondas usando a identidade trigonométrica fornecida:
Aplicando isso nas ondas dadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos identificar os parâmetros da onda estacionária. A forma geral da onda estacionária é:
Comparando com o que obtivemos:
- Amplitude eficiente: $ 2A = 1 $ ⇒ $ A = \frac{1}{2} $
- Número de onda: $ k = \frac{\pi}{4} $
- Frequência angular: $ \omega = 6\pi $
Passo 5
Sabemos que a corda está vibrando no terceiro harmônico. Para uma corda fixa nas duas extremidades, os comprimentos de onda permitidos são dados por:
Onde $ n $ é o número do harmônico e $ L $ é o comprimento da corda. Como estamos no terceiro harmônico ($ n = 3 $):
O número de onda $ k $ também está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
Então, podemos relacionar $ k $ e $ \lambda_3 $:
Passo 6
Comparando com o valor de $ k $ que obtivemos anteriormente ($ k = \frac{\pi}{4} $):
Resolvendo para $ L $:
Passo 7
Agora vamos determinar a velocidade da onda $ v $. A velocidade está relacionada à frequência angular $ \omega $ e ao número de onda $ k $ pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 8
Sabemos que a velocidade da onda também está relacionada à tensão $ \tau $ e à densidade linear de massa $ \mu $ pela fórmula:
Vamos rearranjar para encontrar $ \mu $:
Substituindo os valores:
Passo 9
Finalmente, para encontrar a massa total $ m $ da corda, usamos a relação:
Substituindo os valores:
Resposta
A massa da corda é de 1 kg.