Considere uma corda submetida a uma tensão tau=48 N, fixa em duas extremidades situadas em x=0 e x=L. Sabe-se que a corda oscila no terceiro harmônico de uma onda estacionária produzida pela interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo (em unidades do S.I.):
y1(x, t)=12 sen(pi4 x-6 pi t) e y2(x, t)=12 sen(pi4 x+6 pi t)
Nestas condições, calcule:
a massa m da corda.
Dado : sen alpha+sen beta=2 sen[12(alpha+beta)] cos [12(alpha-beta)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma corda com uma certa tensão que está vibrando no terceiro harmônico de uma onda estacionária. A gente vai precisar usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos, velocidade da onda e densidade linear de massa. No final, vamos descobrir qual é a massa dessa corda usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas ondas que estão formando a onda estacionária na corda. As ondas são dadas por:
y1(x, t)=12 sin(pi4 x - 6 pi t)
y2(x, t)=12 sin(pi4 x + 6 pi t)
Essas duas ondas têm a mesma amplitude, frequência e número de onda, mas estão se movendo em direções opostas.

Passo 3

Para formar a onda estacionária, a gente soma essas duas ondas usando a identidade trigonométrica fornecida:
sin alpha + sin beta = 2 sin(alpha + beta2) cos(alpha - beta2)
Aplicando isso nas ondas dadas:
y(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) = 2 cdot 12 sin( (pi4 x - 6 pi t) + (pi4 x + 6 pi t)2) cos( (pi4 x - 6 pi t) - (pi4 x + 6 pi t)2)
Simplificando:
y(x, t) = sin(pi4 x) cos(6pi t)

Passo 4

Agora, vamos identificar os parâmetros da onda estacionária. A forma geral da onda estacionária é:
y(x, t) = 2A sin(kx) cos(omega t)
Comparando com o que obtivemos:
  • Amplitude eficiente: $ 2A = 1 $ ⇒ $ A = \frac{1}{2} $
  • Número de onda: $ k = \frac{\pi}{4} $
  • Frequência angular: $ \omega = 6\pi $

Passo 5

Sabemos que a corda está vibrando no terceiro harmônico. Para uma corda fixa nas duas extremidades, os comprimentos de onda permitidos são dados por:
lambdan = 2Ln
Onde $ n $ é o número do harmônico e $ L $ é o comprimento da corda. Como estamos no terceiro harmônico ($ n = 3 $):
n
O número de onda $ k $ também está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
L
Então, podemos relacionar $ k $ e $ \lambda_3 $:
n = 3

Passo 6

Comparando com o valor de $ k $ que obtivemos anteriormente ($ k = \frac{\pi}{4} $):
k
Resolvendo para $ L $:
k = pi4

Passo 7

Agora vamos determinar a velocidade da onda $ v $. A velocidade está relacionada à frequência angular $ \omega $ e ao número de onda $ k $ pela fórmula:
v
Substituindo os valores:
omega

Passo 8

Sabemos que a velocidade da onda também está relacionada à tensão $ \tau $ e à densidade linear de massa $ \mu $ pela fórmula:
tau
Vamos rearranjar para encontrar $ \mu $:
mu
Substituindo os valores:
v = raiztaumu

Passo 9

Finalmente, para encontrar a massa total $ m $ da corda, usamos a relação:
m
Substituindo os valores:
m = mu times L

Resposta

A massa da corda é de 1 kg.

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