Considere uma corda vibrante de comprimento
, que satisfaz a equação da onda
Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e da posição inicial
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma corda vibrante de comprimento
que segue a equação da onda:
As extremidades da corda estão fixas, e a corda é inicialmente puxada de uma certa forma sem velocidade inicial. Nosso objetivo é encontrar
, que descreve como a corda se movimenta ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da onda que temos:
Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
multiplicada por 4 é igual à segunda derivada de
em relação a
. Essa é a forma clássica da equação da onda, onde a velocidade de propagação da onda
está relacionada pelos coeficientes. Aqui,
, então
.
Passo 3
Como as extremidades da corda estão fixas, as condições de contorno são:
Isso nos indica que a solução será uma combinação de funções seno, já que elas naturalmente satisfazem condições de contorno de zero nas extremidades.
Passo 4
Vamos assumir uma solução por separação de variáveis, ou seja,
. Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 5
Agora, resolvemos as equações separadas:
Para
:
Para satisfazer as condições de contorno, as soluções são funções seno:
As frequências naturais serão:
Passo 6
A solução geral
é uma soma infinita dessas soluções modos:
Como a velocidade inicial é zero, não temos termos senos no tempo.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar os coeficientes
usando a condição inicial de deslocamento
:
Os coeficientes
são dados por:
Passo 8
Calculando a integral por partes para os intervalos
e
, obtemos os valores de
. Isso geralmente envolve integrais de funções lineares multiplicadas por senos, que podem ser resolvidas usando técnicas de integração por partes.
Resposta
A solução para
é dada por:
onde os coeficientes
são determinados por:
Essa série representa como a corda vibra ao longo do tempo, combinando múltiplos modos de vibração.
Exercícios relacionados
m)
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.
Encontre a série de Fourier da função
dada
, se
, se