Considere uma corda vibrante de comprimento , que satisfaz a equação da onda
Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e da posição inicial
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma corda vibrante de comprimento que segue a equação da onda:
As extremidades da corda estão fixas, e a corda é inicialmente puxada de uma certa forma sem velocidade inicial. Nosso objetivo é encontrar , que descreve como a corda se movimenta ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais parciais, separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da onda que temos:
Isso significa que a segunda derivada de em relação a multiplicada por 4 é igual à segunda derivada de em relação a . Essa é a forma clássica da equação da onda, onde a velocidade de propagação da onda está relacionada pelos coeficientes. Aqui, , então .

Passo 3

Como as extremidades da corda estão fixas, as condições de contorno são:
Isso nos indica que a solução será uma combinação de funções seno, já que elas naturalmente satisfazem condições de contorno de zero nas extremidades.

Passo 4

Vamos assumir uma solução por separação de variáveis, ou seja, . Substituindo na equação da onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 5

Agora, resolvemos as equações separadas:
Para :
Para satisfazer as condições de contorno, as soluções são funções seno:
As frequências naturais serão:

Passo 6

A solução geral é uma soma infinita dessas soluções modos:
Como a velocidade inicial é zero, não temos termos senos no tempo.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar os coeficientes usando a condição inicial de deslocamento :
Os coeficientes são dados por:

Passo 8

Calculando a integral por partes para os intervalos e , obtemos os valores de . Isso geralmente envolve integrais de funções lineares multiplicadas por senos, que podem ser resolvidas usando técnicas de integração por partes.

Resposta

A solução para é dada por:
onde os coeficientes são determinados por:
Essa série representa como a corda vibra ao longo do tempo, combinando múltiplos modos de vibração.

Exercícios relacionados

m)
Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e .
Encontre a série de Fourier da função dada , se , se