e) lim x +infty f(x) sabendo que -1x <= f(x) <= 1x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre limites! A questão pede para encontrarmos o limite de quando tende ao infinito, sabendo que . Para isso, vamos usar o Teorema do Sanduíche, que nos ajuda a determinar limites quando uma função está “presas” entre duas outras.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites das funções que estão nas extremidades da desigualdade. Temos:
limx to +infty -1x e limx to +infty 1x
Sabemos que, conforme limx to +infty -1x = 0 e limx to +infty 1x = 0 cresce sem parar, se aproxima de zero. Portanto:

Passo 3

Agora que vimos que ambos os limites das extremidades são iguais a zero, podemos aplicar o Teorema do Sanduíche. Esse teorema diz que se uma função -1x <= f(x) <= 1x está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então limx to +infty f(x) = 0 também tem esse limite. Ou seja, já que:
e ambos os limites laterais são zero, concluímos que:

Resposta

O limite de quando tende ao infinito é igual a 0.

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