Encontre a série de Fourier da função
dada
, se
, se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Fourier para uma função
definida de forma periódica. A função é dada por:
e essa função se repete a cada 4 unidades, ou seja,
. Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que descompõem funções periódicas em uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes
,
e
, que vão nos dar a expressão da série.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para
é:
Aqui, o período é 4, então
. Vamos calcular a integral de
de -2 a 2.
Passo 3
Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
e
. As fórmulas são:
Com
, temos:
Passo 5
Devido à natureza da função
, que é par ou ímpar, podemos simplificar os cálculos:
- A função
é ímpar porque . - Isso implica que os coeficientes
serão zero, já que a integral de uma função ímpar multiplicada por uma função par (cosseno) é zero. - Já os coeficientes
serão não nulos.
Passo 6
Vamos calcular
:
Observando a simetria, podemos simplificar:
Usando
, simplificamos:
Somando as integrais:
Passo 7
Para resolver a integral
, usamos a técnica de integração por partes:
Escolhemos:
Aplicando:
Calculando a segunda integral:
Portanto:
Passo 8
Voltando a
:
Vamos avaliar de 0 a 2:
Para :
Para
Para
:
Portanto:
Usamos
.
Passo 9
Simplificando
:
Na verdade, corrigindo, observe que
é:
- 2 quando
é par. - 0 quando
é ímpar.
Então:
e
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por:
onde:
Portanto, a série de Fourier simplificada fica:
onde
com
inteiro positivo.
Exercícios relacionados
Considere uma corda vibrante de comprimento
, que satisfaz a equação da onda
Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e da posição inicial
Calcule
.
Encontre a série de Fourier da função
dada
, se
, se
Justifique sua resposta.