Encontre a série de Fourier da função dada , se , se

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a série de Fourier para uma função definida de forma periódica. A função é dada por:
e essa função se repete a cada 4 unidades, ou seja, . Aqui, estamos trabalhando com Séries de Fourier, que descompõem funções periódicas em uma soma de senos e cossenos. Para resolver, vamos precisar calcular os coeficientes , e , que vão nos dar a expressão da série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para é:
Aqui, o período é 4, então . Vamos calcular a integral de de -2 a 2.

Passo 3

Vamos dividir a integral conforme a definição da função:
Calculando cada parte:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes e . As fórmulas são:
Com , temos:

Passo 5

Devido à natureza da função , que é par ou ímpar, podemos simplificar os cálculos:
  • A função é ímpar porque .
  • Isso implica que os coeficientes serão zero, já que a integral de uma função ímpar multiplicada por uma função par (cosseno) é zero.
  • Já os coeficientes serão não nulos.

Passo 6

Vamos calcular :
Observando a simetria, podemos simplificar:
Usando , simplificamos:
Somando as integrais:

Passo 7

Para resolver a integral , usamos a técnica de integração por partes:
Escolhemos:
Aplicando:
Calculando a segunda integral:
Portanto:

Passo 8

Voltando a :
Vamos avaliar de 0 a 2:
Para :
Para :
Portanto:
Usamos .

Passo 9

Simplificando :
í
Na verdade, corrigindo, observe que é:
  • 2 quando é par.
  • 0 quando é ímpar.
Então:
e
í

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:
onde:
ééí
Portanto, a série de Fourier simplificada fica:
onde com inteiro positivo.

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Encontre a série de Fourier da função dada , se , se
Justifique sua resposta.