Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
y'' - 6y + 10 = 0 com y(0) = 2 e y'(0) = 3.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o termo não homogêneo é uma constante ( ), vamos supor que a solução particular seja também uma constante:
Derivando :
Substituindo na equação:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Simplificando:

Passo 6

Segunda condição:
Primeiro, derivamos :
Aplicando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:

Passo 8

Finalmente, substituímos e na solução geral:

Resposta

A solução da equação diferencial dada é:

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