Resolva as equações diferenciais não homogêneas:
e
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos trabalhando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea correspondente:
Para isso, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Como o termo não homogêneo é uma constante (
), vamos supor que a solução particular seja também uma constante:
Derivando
:
Substituindo na equação:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeira condição:
Simplificando:
Passo 6
Segunda condição:
Primeiro, derivamos
:
Aplicando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, temos o sistema de equações:
Somando as duas equações:
Subtraindo as equações:
Passo 8
Finalmente, substituímos
e
na solução geral:
Resposta
A solução da equação diferencial dada é: